附录5 素数定理的简单说明

这一定理最早是由欧拉发现的。欧拉在研究素数时发现：

$\sum _n{n}^{-s}=\prod _p{(1-p^{-s})}^{-1}.$其中p为素数，s为任意复数。这被称为欧拉乘积公式。

这里先证明欧拉乘积公式。两边同时乘以$\prod _{\mathrm{p}}(1-{\mathrm{p}}^{-\mathrm{s}})$得

$$(1+2^{-\mathrm{s}}+3^{-\mathrm{s}}+...+{\mathrm{n}}^{-\mathrm{s}})(1-2^{-\mathrm{s}})(1-3^{-\mathrm{s}})...(1-{\mathrm{p}}^{-\mathrm{s}})=1.$$

把左边括号展开，我们会发现，前两个式子乘在一起之后会消除所有2的倍数项，继续乘以第三项后会消除所有3的倍数项，以此类推，直到消除所有素数的倍数项，最后只剩下1，证毕。该过程被称为欧拉筛。

当s=1时，等式左侧是著名的调和级数$\sum _n{n}^{-1}$，而$\sum _1^k{n}^{-1}>{\int }_1^k\frac{1}{x}dx=lnk$，是发散的。且可以证明，$\sum _n{n}^{-1}=O\left(lnn\right)$.

两边取自然对数，得

$$\mathrm{l}\mathrm{n}\sum _n{n}^{-1}=-\sum _{p}ln(1-p^{-1}).$$

再用麦克劳林展开得

$$\mathrm{l}\mathrm{n}\sum _n{n}^{-1}=\sum _p{p}^{-1}+\frac{p^{-2}}{2}+\frac{p^{-3}}{3}+...$$

可以证明，右侧除第一项之外的和为收敛的，而第一项为发散。于是

$$\sum _p{p}^{-1}~\mathrm{l}\mathrm{n}\sum _n{n}^{-1}.$$

而

$$\sum _n{n}^{-1}=O\left(lnn\right),$$

故

$$\sum _p{p}^{-1}=O\left(ln\right(lnn\left)\right).$$

注意到

$$\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{}\mathrm{x}\right)=\int \frac{1}{xlnx}dx$$

则

$$\sum _p{p}^{-1}~\int x^{-1}\frac{1}{lnx}\mathrm{d}\mathrm{x}$$

引入素数密度函数$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$\mathrm{\rho }\left(\mathrm{x}\right)$，它给出在x附近单位区间内出现素数的概率，于是有

$$\sum _p{p}^{-1}~\int x^{-1}\mathrm{\rho }\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$$

这是因为此处$\mathrm{\rho }\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$为微小区间上素数的期望个数，而$x^{-1}$可近似看作该区间上代表的“素数”的倒数，因为区间很小，里面的素数可近似视为x，二者相乘再把所有区间上的贡献都加起来就得到了右边的式子，二者是同阶无穷大。

两式对比，不难发现

$$\int \rho \left(x\right)dx~\int \frac{1}{lnx}dx$$

而小于等于x的素数个数$\mathrm{\pi }\left(\mathrm{x}\right)=\int \rho \left(x\right)dx$，故

$$\mathrm{\pi }\left(\mathrm{x}\right)~\mathrm{L}\mathrm{i}\left(\mathrm{x}\right)$$

值得一提的是，本附录仅仅构成对素数定理的说明，这是因为一些步骤没有给出严谨详实的证明过程，只是提供了整体上的证明思路，这与当年高斯提出素数猜想时的想法一致，不过由于高斯自身追求完美的性格使得他没有发表这个猜想，仅仅留在了他的手稿中。真正严谨的证明过程已由法国数学家阿达马与比利时数学家普森于1896年彼此独立地给出。