附录6 椭圆曲线的由来

我们都知道，使用定积分可以比较容易地计算出椭圆的面积为$\mathrm{\pi }\mathrm{a}\mathrm{b}$，那么椭圆的周长是不是也会很容易呢？

设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，则周长$\mathrm{l}={\int }_0^{2\mathrm{\pi }}\sqrt{{\mathrm{a}}^2{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2\mathrm{}\mathrm{\theta }+{\mathrm{b}}^2{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\mathrm{}\mathrm{\theta }\mathrm{}}\mathrm{d}\mathrm{\theta }={\int }_0^{2\mathrm{\pi }}\sqrt{{\mathrm{a}}^2-({\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2){\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\mathrm{}\mathrm{\theta }\mathrm{}}\mathrm{d}\mathrm{\theta }$，记离心率$\mathrm{e}=\sqrt{\frac{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2}{{\mathrm{a}}^2}}$，则原式化简为$\mathrm{l}=4\mathrm{a}{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sqrt{1-{\mathrm{e}}^2{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\mathrm{}\mathrm{\theta }}\mathrm{d}\mathrm{\theta }$，这就是第二类椭圆积分，可以证明，该积分的原函数不能用初等函数表达。所以我们是无法求出椭圆周长的精确值的，只能通过一些函数来近似。

现在我们令$\mathrm{t}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{}\mathrm{\theta }$,则$\mathrm{d}\mathrm{\theta }=-\frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{t}}^2}},$代入，得

$$\mathrm{l}=4\mathrm{a}{\int }_0^1\frac{\sqrt{1-{\mathrm{e}}^2{\mathrm{t}}^2}}{\sqrt{1-{\mathrm{t}}^2}}\mathrm{d}\mathrm{t}$$

分母有理化，得

$$\mathrm{l}=4\mathrm{a}{\int }_0^1\frac{\sqrt{(1-{\mathrm{e}}^2{\mathrm{t}}^2)(1-{\mathrm{t}}^2)}}{1-{\mathrm{t}}^2}\mathrm{d}\mathrm{t}$$

令$\mathrm{P}\left(\mathrm{t}\right)=(1-{\mathrm{e}}^2{\mathrm{t}}^2)(1-{\mathrm{t}}^2)$，易知该函数的四个零点为$\pm 1，\pm \frac{1}{\mathrm{e}}，$应用莫比乌斯变换，只要令$\mathrm{s}=\frac{1}{\mathrm{t}-1}，$即可把四次方程降为三次方程，得

$$\mathrm{P}\left(\mathrm{t}\right)=-\frac{2(1-{\mathrm{e}}^2){\mathrm{s}}^3+(1-5{\mathrm{e}}^2){\mathrm{s}}^2-4{\mathrm{e}}^2\mathrm{s}-{\mathrm{e}}^2}{{\mathrm{s}}^4}$$

此时我们令$\mathrm{Q}\left(\mathrm{s}\right)=2(1-{\mathrm{e}}^2){\mathrm{s}}^3+(1-5{\mathrm{e}}^2){\mathrm{s}}^2-4{\mathrm{e}}^{2}s-{\mathrm{e}}^2$，再由$\mathrm{d}\mathrm{t}=-\frac{1}{{\mathrm{s}}^2}\mathrm{d}\mathrm{s}$，代入原式，得

$$\mathrm{l}=4\mathrm{a}{\int }_{-1}^{-\mathrm{\infty }}\frac{\sqrt{-\mathrm{Q}\left(\mathrm{s}\right)}}{(2\mathrm{s}+1){\mathrm{s}}^2}\mathrm{d}\mathrm{s}$$

这里$-\mathrm{Q}\left(\mathrm{s}\right)=-2(1-{\mathrm{e}}^2){\mathrm{s}}^3-(1-5{\mathrm{e}}^2){\mathrm{s}}^2+4{\mathrm{e}}^{2}s+{\mathrm{e}}^2$，即形如$\mathrm{y}=\mathrm{A}{\mathrm{x}}^3+\mathrm{B}{\mathrm{x}}^2+\mathrm{C}\mathrm{x}+\mathrm{D}.$而只需令$\mathrm{x}=\mathrm{z}-\frac{\mathrm{B}}{3\mathrm{A}}$即可消去二次项，得到$\mathrm{y}=\mathrm{A}{\mathrm{x}}^3+\mathrm{p}\mathrm{x}+\mathrm{q}$的形式.于是就出现了$\sqrt{x^3+a{x}^2+b}$的形式，令其等于y，于是有

$$y^2=x^3+a{x}^2+b$$

这就是椭圆曲线的方程。