正文章节
第一幕 开端
传火者——费马最后定理
自丢番图写就古希腊集大成之作《算术》之后，数论这门学科很快陷入沉寂，乃至无人问津。过去很长一段时间里，数论都被视为一门“无用的数学”。在多数人眼中，它不过是数学家们消遣时光的思维游戏——建造房屋无需它的支撑，指导农业无需它的指引，解释自然现象也无需它的助力。直到信息时代悄然降临，人们才惊觉，这门曾被轻视的学问，早已在密码学领域筑牢了根基，成为现代信息安全的隐形守护者。今天，我们要追寻的便是一部关于数论从焕然一新的新生到现在的花团锦簇的雄伟磅礴的发展史，而这部历史的核心元件之一便是费马大定理(FLT)。一个FLT，半部数论史。自17世纪首次提出以来，费马大定理造就了许许多多可歌可泣的数学英雄们，见证了无数逐梦者们幻梦的破碎，又最终成就了何其辉煌的集众多数学思想于一身的伟大证明的终极。
皮埃尔·德·费马(1601-1665)
本文将从费马大定理的起源开始，跟随费马的脚步，讲到其最初版本，也就是勾股定理。随后讲述费马在数学上放荡不羁的个性及由此引发的那个跨越350多年的挑战。接着讲到费马之后无数这个星球上最有才智的头脑们为费马大定理绞尽脑汁还是无法攻克，欧拉、索菲·热尔曼、高斯、勒让德、拉梅、柯西……似乎终于成功然而却是陷入思维误区造就的假象。就在费马大定理被数学界放弃时其它领域意料之外的发现却带来了转机，在多种数学技术的联合之下，直接推动费马大定理走向了解决。
费马大定理，肇启于近代数学的黎明之前，完结于现代数学的如日中天。读毕此文，深入思考数学家们前仆后继、全力以赴的决心，我相信我们都能够更好地理解所谓“传火者”究竟是一群怎么样的人类文明的脊梁。
“我有一个对这个命题的十分美妙的证明，可惜这里空白太小，写不下。”
当16世纪的荣光渐渐沉落，17世纪的风裹挟着文艺复兴的余韵，掠过欧洲大陆。这是一个新旧交织的时代，如同黄昏与黎明的交界，古典文明的余晖尚未散尽，近代科学的曙光已在天际隐隐浮现。人们告别了神权至上的桎梏，开始以理性为灯，试探着未知的世界，每一寸空气里，都弥漫着告别过往、奔赴新生的张力。
发源于比利牛斯山脉的加龙河，如一条银色丝带蜿蜒穿梭于西班牙与法国边境，承载着西南斗牛士的热血与遒劲，也浸润着法兰西民族的浪漫与理性。它见证过文艺复兴的辉煌，也亲历过神权衰落的变迁，望着历史车轮滚滚向前，昨日的荣光渐渐黯淡，唯有天际的银河依旧璀璨，将细碎的光芒洒向这片沉寂的土地。夜色氤氲，月色朦胧，彷徨与惘然在夜色中蔓延，直到一缕萤光划破黑暗，蓦然回首，黎明已在前方悄然绽放。
法国南部的博蒙-德洛马涅，晨曦微露，一座巴洛克式贵族宅邸静静矗立在庄园腹地。米黄色的青砖墙缀着精美的檐角石雕，彩色玻璃窗折射出细碎的晨光，将庭院映照得暖意融融。青石板旁，花木凝露，清泉潺潺，常春藤缠绕着铁艺大门，沉淀着世家大族的底蕴，暖香与静谧在空气中交织，一切都沉浸在柔和的晨光里，静谧而美好。
“我歌唱的是武器和一个人的故事。他是第一个从特洛伊海岸，被命运驱赶，来到意大利和拉维尼乌姆海滨的人……”
高堂之内，一声脆亮的朗诵声打破了这份宁静，稚嫩却铿锵有力，对面坐着一位衣冠整洁、气质儒雅的先生，正凝神聆听，仿佛在品味一首流淌的史诗。
“万物皆有泪，凡俗之事触动人心。放下心中的恐惧，伸出援手，呼唤帮助；我们经历过非凡的命运和无数的危险，离开那不可靠的、位于悬崖下的洞穴！”
朗诵声戛然而止，厅堂内重归寂静，颇有种“东船西舫悄无言”的悠远意境。
“嗯，记得不错，对埃涅阿斯的英雄气概，诠释得十分到位！”先生颔首称赞，眼中满是赞许。对面的男孩脸上瞬间漾开喜悦的笑容，眼中闪烁着灵动的光芒。这位先生，叫作皮埃尔·费马，此刻，他正在给与自己同名的侄子传道解惑，播撒知识的种子。
《埃涅阿斯纪》
“今天我们要学什么？”男孩迫不及待地问道，眼中满是期待。
“看来你拉丁语学得已经不错，拉丁语诗文也能倒背如流……”先生顿了顿，目光温和而深邃，“不如我们今天就来看一看，用拉丁语写成的另一类作品吧。”
“其它作品？”男孩满脸疑惑，眼中满是好奇。
“嗯，是能让你暂时将心神从文学中抽离，感受另一种智慧之美的作品。”
话音刚落，一位仆从缓步走入厅堂，躬身说道：“费马先生，该准备用餐了。”
先生转头示意仆从退下，笑着对男孩说：“看来，我们得等到早餐后，再开启这场新的探索了。”
“主啊，求你赐福于我们，以及我们即将领受的、你慷慨赐予的这些馈赠。因我们的主耶稣基督。阿门。”
小皮埃尔的父亲垂首领诵祷文，全家人肃立合掌，神情虔诚，待一声“阿门”落定，方才依次落座。早餐依旧朴素却精致：主食是松软的白面包，表面均匀涂覆着醇厚的橄榄油，点缀着坚果酱、鱼酱与杏仁、核桃，奶酪是清爽的无脂乳清款，饮品则有稀释的葡萄酒、温润的药草茶与鲜醇的牛奶，全程不碰任何荤腥油脂。即便如此，这样的早餐在当时也堪称规格不俗——试问平民和下等贵族中有哪些是会吃早餐的呢？
小皮埃尔的心，早已被叔叔口中的“另一类作品”牢牢抓住，早餐时，他食不知味，脑海中满是对那部神秘作品的猜想，恨不得立刻就能一睹真容。
早餐终于结束，小皮埃尔迫不及待地跟着叔叔走进书房。书房内，卷帙浩繁的书架顶天立地，费马从书架上取出一本装订精美的古籍，封面上，“几何原本”四个大字格外醒目，作者一栏，写着“欧几里得”三个字。小皮埃尔心中满是惊奇——这位欧几里得，生活的时代比埃涅阿斯还要早将近300年，如此久远的作品，竟有着这般精美的装订，再加上标题中的“原”字，让他不由得猜想，这或许是一部讲述天主教起源的神学经典。
《几何原本》
然而，当书本被翻开的那一刻，小皮埃尔彻底震惊了。书页间没有他预想中的神圣画像，没有晦涩的神学教义，只有一个个简洁而严谨的图形，一行行凝练的文字，仿佛一扇通往新世界的大门，在他面前缓缓敞开。
“这是一部古希腊经典的数学著作，从今天开始，我们来学习数学。”先生的声音温和而有力量。
“数学？这就是清晨叔叔所说的，能转换思路的东西？”刚一开始，小皮埃尔还不以为意，只当这是一门和绘画差不多的学问，或是一门简单的数数技巧——可这些能力，他早已熟稔于心，叔叔向来不会教他已经掌握的知识。
“首先，请你回想一下，这些图案，你都见过吧。”先生指着书中的图形问道。
小皮埃尔用力点点头。
“那么，你有思考过这些图案背后的普遍规律吗？”
“普遍规律？”小皮埃尔满脸茫然，从未想过这个问题。
“是的。”先生的目光望向窗外，语气悠远，“事实上，这个世界的一切，都遵循着既定的规律。太阳东升西落，月亮阴晴圆缺，四季轮回更替，鸟兽虫鱼繁衍，花草树木生长……无不被大自然的法则所牵引。而这些事物，都有其形状，有其特征，这些形状与特征的背后，也藏着严谨的规律。古代先贤们历经无数次观察、总结、推演与应用，最终将这些规律凝练为一门包罗万象、逻辑严谨、应用广泛的学科——数学。”
“‘数学’，顾名思义，就是研究一切与数字、图形相关的学科，从最基础的数数、计算，到今天我要跟你讲的几何，都属于数学的范畴。”
“最开始，人们研究数学，并没有统一的方法，只是零散地探索。直到近2000年前的古希腊，哲学家泰勒斯提出了‘命题’的概念，才让数学真正成为一门独立的学科，得以发扬光大。泰勒斯之后，欧几里得——也就是这本书的作者，第一次采用‘公理+公设→定理’的结构，编写了这部影响深远的《几何原本》。之所以采用这种结构，是因为它能从人们普遍认同的公理出发，通过明确的定义与合理的假设，严谨地推导出一系列结论，所建立的理论基础坚不可摧，也因此被后世广泛推崇，沿用至今。今天，我就带你一起，走进数学的世界，感受它的缜密逻辑与独特魅力。”
“首先，让我们翻开第一页，从这些公理开始说起……”
先生不厌其烦地讲解着那些看似显而易见的公理与公设——“等量的量彼此相等”“整体大于部分”“两点确定一条直线”“任意点为心，任意距离可作圆”……每讲解一个，他都会留出足够的时间，让小皮埃尔思考其真实性，随后，便结合《几何原本》的内容，提出自己的独到见解，一步步为小皮埃尔推导定理。一幅奇美瑰丽的几何学画卷，就此在小皮埃尔的眼前徐徐展开。他惊喜于几何的美妙与严谨，痴迷于图形的变化与灵动，好在他脑筋灵活，很快就掌握了先生所讲的内容，甚至意犹未尽，即便先生离开，他也会独自翻开书本，沉浸在数学的世界里。拉丁语的晦涩，不仅没有让他退缩，反而让他更加专注，越读越起劲——他已然被数学的魔力所吸引，彻底沉沦于这份严谨与灵动之中。
此后的几年里，先生虽然也会教小皮埃尔其他语言与诗文，但小皮埃尔心中，早已将数学视为自己毕生的挚爱，默默将这份热爱深埋心底，化作探索的动力。
对数学的热爱，让小皮埃尔开始主动寻找各类数学书籍，不断拓宽自己的视野。《几何原本》内容丰富却相对浅显，他便找来古希腊几何学的集大成之作《圆锥曲线论》。尽管这部著作深奥难懂，即便小皮埃尔天赋异禀，阅读时也需耗费大量心力，但他依旧读得津津有味，每一个晦涩的知识点，每一个复杂的推导过程，都让他充满探索的欲望。叔叔在教他数学时，总爱提出一些问题，引导他独立思考、主动解答，这种教育方式，也让小皮埃尔养成了爱提问、爱思考的习惯。于是，在阅读数学著作时，他总爱边读边做批注，遇到感兴趣的知识点，便会绞尽脑汁，提出一些能带来新观点的问题，并尝试自行解答。但他也有个“小习惯”——相比于解答问题，他更热衷于提出问题，因此，即便想出了问题的解答思路，他也只会写下简略的步骤，甚至干脆不写，将更多的空间留给思考与探索。
1615年，14岁的小皮埃尔·费马，走进了博蒙-德洛马涅公学。此时的他，早已不是当年那个懵懂的男孩，得益于叔叔早年的悉心培养与知识传授，他在学业上表现得极为优秀，远超同龄伙伴。父母与老师都清楚他的才华，便推荐他去学习当时全法国最体面的职业——律师。费马儿时博览群书，善于记诵，且逻辑推演清晰迅速，这些特质，让他学习法律时事半功倍。顺水推舟之下，费马进入奥尔良大学攻读法律，随后又转入图卢兹大学深造。一切都显得一帆风顺，按照这样的轨迹，他很快就能从图卢兹大学毕业，获得体面的律师职位，平步青云，拥有一个世人眼中完美的人生。
然而，人对美好的追求，永无止境。对费马而言，法律职业带来的体面与安稳，只是人生的一部分，他心中真正的追求，依旧是那个让他魂牵梦萦的数学世界。起初，法律学习内容繁杂，需要记忆的条文浩如烟海，即便强如费马，也需花费大量时间，才能将这些条文与判定准则牢记于心、运用自如。直到后来，他在法律领域已然能够出口成章、游刃有余，终于有了足够的心力，重拾自己的挚爱——数学。
费马重新翻开那些尘封的数学典籍，仿佛重新回到了那个让他痴迷的世界。在他眼中，著作的作者，就如同一位精明的指挥家，挥舞着“演绎推理”的指挥棒，让数字与图形有序排布，奏响一曲曲时而婉转、时而激昂的智慧乐章。他如饥似渴地阅读着，每一个知识点，每一个推导过程，都让他沉醉其中，每当遇到值得推敲的地方，他便会随手写下批注——这些批注，有时是他对问题的独到见解，有时是对问题的延伸与推广，但更多的，还是他提出的一个个刁钻问题。
费马广交好友，待人处事精明得体，收获了许多志同道合的朋友。而闲暇之余，他最喜欢做的事情，就是将自己阅读时提出的数学问题，丢给这些好友，让他们尝试解答，以此作为“思维训练”，以今天的梗来讲，就是“整活”。被他“刁难”的好友，通常需要尽快给出解答，否则，就会被费马单方面宣布“胜利”。久而久之，若是穿越回17世纪的法国，最令人避之不及的，便是成为费马发泄提问欲望的“好友”——毕竟，没有人愿意被这位天才反复“刁难”，却又无可奈何。
1621年的一天，结束了一天的学习后，费马前往巴黎参加学术研讨会。谁也没有想到，这一天，一本书的出现，将让“费马”这个名字，被后世永远铭记，成为数学史上不可磨灭的印记。
这天下午，研讨结束后，费马与几位友人在街市上漫无目的地闲逛，一边走，一边谈论着方才研讨的法律案件，时不时驻足，买上几份小吃，几人有说有笑，十分惬意。不知不觉间，他们走到了一家书店附近——生性爱书的费马，自然不会错过这个机会。
“阁下们，一天的讨论辛苦了！不如我们去书店熏陶一番，如何？”费马笑着提议。
几位友人爽快地答应了。
这家书店，表面看上去平平无奇，推门而入，却别有洞天。鎏金雕花的实木书架沿墙铺展，黑胡桃木的纹理间嵌着细碎的金箔，在水晶吊灯的折射下，泛着温润的光泽。顶天立地的书架上，精装典籍的烫金书脊错落有致，衬着墙面镶嵌的复古壁灯，暖光漫过泛黄的书页与雕花护角，氛围感十足。空气中，墨香与木质的醇厚气息交织，沁人心脾，角落的阅读沙发覆着柔软的丝绒软垫，每一处细节，都藏着精致与华贵，既有书卷的雅致，又有殿堂般的恢弘。几人被眼前的景象深深震撼，即便费马家底雄厚，也很少有机会见到如此华美的书店。
厅堂中央，一位白发老人屈肘而坐，手持一本诗书，正凝神品读，眉宇间满是沉静。见有客人光临，他只是抬头淡淡一瞥，缓缓说道：“需要买书吗？请随意看看吧。”
“好的，感谢您。”费马应声答道，随后便与友人们散开，在书架间穿梭。书店里的书籍种类繁多，法律、哲学、政治、文学、数学、语言……一应俱全，这般丰富的藏书，也让几人不再惊讶于书店的华美。
费马心中满是激动，指尖拂过一本本典籍，每一本都值得精读，可人的精力终究有限，他必须选出一本真正适合自己的书。他径直走向存放古书的书柜，那里陈列着古希腊与古罗马的经典著作，《埃涅阿斯纪》《几何原本》等熟悉的书籍赫然在列。就在这时，一个不经意的角落，一本微微泛黄、封面略显陈旧的书，引起了他的注意——书名是《算术》，作者是丢番图。
《算术》
费马此前对丢番图略有耳闻，却了解不深。他知道，《算术》是古希腊亚历山大后期数学家丢番图的著作，专注于方程的正有理数解，在数论与代数领域，有着奠基性的意义。然而，随着黑暗中世纪的降临，伊斯兰教与基督教之间的战争接连爆发，这部著作轮番遭受两大宗教的摧残，原本13卷的内容，最终仅存6卷。1453年，奥斯曼帝国攻占君士坦丁堡——这座《算术》残卷的保存地，为了保护这份珍贵的文化遗产，拜占庭帝国的学者们带着仅存的6卷《算术》，仓皇向欧洲潜逃。历经辗转，经过多次重印，才有了眼前这本被静静陈列在书店角落的典籍。
关于丢番图，费马只记得他有一段奇特的墓志铭，这段墓志铭，本身就是一道精妙的数学题：
“过路人！这儿埋着丢番图的骨灰。下面的数字可以告诉你，他活了多少岁：他生命的1/6是幸福的童年；再过1/12，颊上长出了细细的胡须；又过了生命的1/7他才结婚；再过了5年，他感到很幸福，得了一个儿子；可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半；儿子死后，老人在悲痛中活了4年结束了尘世生涯。”
费马稍加演算，便通过方程推导出丢番图的年龄为84岁。可除此之外，关于这位伟大的数学家，世人知之甚少，他就像一个谜，隐藏在历史的尘埃中。而这份“神秘”，倒与费马自己的风格颇为相似——偏爱提出问题，却不愿轻易给出完整解答。
然而，《算术》一书中记载的数论与代数知识，却一点也不“神秘”。每一个问题，丢番图都给出了详尽的解答步骤，条理清晰，通俗易懂，即便只是数学初学者，也能循着这些步骤，掌握书中的定理与方法。尽管这种详尽细致的风格，与费马偏爱简略、乐于提问的习惯截然不同，但他还是读得津津有味，彻底被这门名为“数论”的学问所吸引。他从未想过，数字之间，竟藏着如此美妙的秘密；求解丢番图方程的过程，竟有着如此强大的魔力，不断激发着他的探索欲与求知欲。他一页页地翻阅，浑然不觉天色渐晚，长庚星已然缀满了昏暗的天边。
“皮埃尔！该走了，很晚了！”
友人们的呼唤声，终于将费马从数论的世界中拉回现实。
费马意犹未尽地合上书，指尖轻轻摩挲着泛黄的书页，眼中满是不舍。他快步走向柜台，买下了这本《算术》，心中依旧在回味书中那些神奇精妙的解题思路，仿佛收获了世间最珍贵的宝藏。
此后，费马便与这本《算术》结下了不解之缘。每当心情烦闷，或是闲暇无事时，他都会拿出这本书，细细翻阅、静静演算。对费马而言，这本《算术》，就是最好的解压方式，每当翻开它，一个个丢番图方程，便如汩汩清流，淌进他的心田，涤荡所有的浮躁与疲惫，让他重新沉浸在数学的纯粹与美好之中。
时光荏苒，费马在大学的时光悄然流逝。按照寻常大学生的思维，此时的他，早已该考虑未来的工作与生计，可费马却丝毫没有这份顾虑。凭借着家里雄厚的资产，他早已通过合法渠道，买下了博蒙-德洛马涅的律师与参议员职位①，前途一片光明，无需为生计奔波。
毕业后，费马返回家乡，顺理成章地成为了图卢兹议会的议员。虽说身为议
注：① 1523年，佛朗期瓦一世组织成立了一个专门鬻卖官爵的机关，公开出售官职以迎合富有者和改善政府财政状况。费马正是通过这种合法的渠道获得的官职。这种现象直至现在依然存在。
员，却并没有太多繁重的工作，无非是接待请愿者，倾听他们的诉求，再将重要的请求呈请国王，类似于如今的信访工作。凭借着自身高超的逻辑思维与处事能力，费马在工作中得心应手，屡受提拔。期间，他迎娶了自己的舅表妹露伊丝·德·罗格，原本就为母亲的贵族血统而自豪的费马，此后便在自己的姓名中，加上了贵族姓氏的标志“de”，正式成为“皮埃尔·德·费马”，彰显着自己的贵族身份。
尽管费马的才华与晋升速度，难免引来议会同僚的嫉恨，但他始终无心于议会的权力纷争，将自己大部分的业余时间，都投入到了数学研究之中。这一阶段，费马的数学成果颇丰，他凭借着书信提问的方式，结交了一批当时欧洲顶尖的数学家，比如布莱士·帕斯卡、笛卡尔等。
正如以往一样，费马喜欢在信中，向这些同行讲述自己发现的最新定理，却从不提供完整的证明过程。对他而言，提出定理、探索未知的乐趣，早已足够，公开发表研究成果、获得世人的认可，对他来说，毫无意义。证明这些定理，就成了他向同行发起的挑战，而看着同行们绞尽脑汁、束手无策的模样，也成了他闲暇之余的一种乐趣。
费马的这种“恶作剧”，让许多数学家对他极为恼恨。笛卡尔曾在给梅森神父的信中，抱怨费马“只提出猜想却不给出证明，不过是哗众取宠的吹牛者”；而被他时常嘲弄的英国数学家沃利斯，更是直言不讳地称他为“那个该诅咒的法国佬”。费马之所以这么做，除了享受这种“捉弄”同行的乐趣，还有更切实的考量——这样一来，他就无需花费大量时间，完善自己的证明方法，反而可以迅速转向下一个问题的探索；同时，也能避免遭受那些出于嫉妒的质疑与挑剔。他主动放弃了成名的机会，只为能心无旁骛地沉浸在数学的世界里，不受外界的干扰。
这位“业余数学家”，用自己的业余时光，为数学界做出了一系列“不业余”的贡献：他与布莱士·帕斯卡合作，通过对赌徒游戏的研究，催生了概率论这门新学科，让赌徒们不再依靠经验与直觉判断概率，而是有了科学的计算方法；他提出了求切线的方法，还是第一个求出一般幂函数积分的人，为微积分的发展奠定了基础；他在手稿中，记录了从代数公式出发，描述几何曲线的方法——这意味着，他与笛卡尔各自独立发明了解析几何，只不过，由于费马不愿发表成果的习惯，数学界普遍将笛卡尔视为解析几何的创立者；除此之外，他还提出了“光在两点之间沿时间最短的路径传播”的观点，这一观点后来被称为“费马原理”，成为光学领域的基础定理。
如此惊人的数学成就，竟都是费马在阅读数学著作时，随手写下的批注与手稿，而他在官场之上，依旧屡受提拔，可谓是事业与爱好双丰收，难免让人艳羡。只不过，这份艳羡，仅限于少数了解他数学成就的人——议会的同僚们，只嫉妒他的晋升速度，对他在数学领域的辉煌成就，一无所知。
那么，问题来了，既然费马取得了如此辉煌的数学成就，为何依旧被称为“业余数学家”？其实答案很简单：他的主业，始终是律师与议员，数学，只是他在业余时间坚守的爱好。再加上他不愿发表研究成果的性格，使得他的很多理论，未能及时影响世人，存在一定的滞后性。后来，库里奇在写作《业余大数学家的数学》一书时，甚至将费马排除在外，理由是：
“他的才华太过杰出，成就太过辉煌，理应算作专业数学家。”
这一句话，足以证明费马的数学造诣——他虽是“业余”身份，却做出了远超专业数学家的贡献。
费马第一次因数学被广泛熟知，源于1636年一对亲和数的发现。
早在古希腊时期，毕达哥拉斯学派的学者们，就发现了一对具有特殊性质的数字——220和284。它们的特殊之处在于，一个数除自身之外的所有因数之和，恰好等于另一个数：
220：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284；
284：1+2+4+71+142=220
这样的两个数，被称为“亲和数”，在古代，人们将它们刻在护身符上，认为它们能促进爱情、带来好运。然而，在接下来的1000多年里，人们再也没有发现新的亲和数，仿佛这一对数字，就是世间唯一的奇迹。
直到1636年，费马在不断的尝试与演算中，终于发现了另一对亲和数——17296和18416：
17296:1+2+4+8+16+23+46+47+92+94+184+188+368+376+752+1081+2162+4324+8648=18416
18416:1+2+4+8+16+1151+2302+4604+9208=17296
这一对亲和数的发现，让费马一战成名，也让丢番图之后沉寂了1300余年的数论，重新焕发了生机与活力，越来越多的人，开始关注费马，关注这门曾经被轻视的学问。
1637年，一个闷热的午后，结束了一上午的议会工作后，费马如往常一样，翻开《算术》，以此解闷。他接续着上次阅读的内容，翻到了第二卷，书中记载着一个几何学中家喻户晓的定理——毕达哥拉斯定理（又称勾股定理），同时，还对毕达哥拉斯三元组的存在性，进行了详细的讨论。
所谓毕达哥拉斯三元组，即满足以下两个条件的正整数x、y、z：
i 正整数x、y、z没有公因数（三者互素）；
ii 满足。
事实上，早在古希腊时期，欧几里得就已经证明了，毕达哥拉斯三元组有无数组，它们的通解为：
x=2mn
y=
z=
其中，m、n为一奇一偶且互素的正整数。
下面简要介绍一下证明思路：由于x、y、z三者互素，x与y的奇偶性，只能是同为奇数或一奇一偶两种情况。我们分情况讨论：
若x、y同为奇数，那么它们的平方和，被4除余2，因此z²必为偶数，z也为偶数，而偶数的平方被4除余0，这与“平方和被4除余2”矛盾。
因此，x、y只能是一奇一偶。不妨设x为偶数，y为奇数，结合，可推出m、n必为一奇一偶且互素。这种分情况讨论、利用矛盾推导结论的方法，在后来的数论研究中，还会多次出现。
费马凝视着书中的毕达哥拉斯三元组，陷入了沉思，他试图从这个经典定理中，发现一些新的规律。突然，一个灵感在他脑海中迸发，他随手写下了一个方程：，其中n>2。
显然，当n=2时，这个方程有解②，即为毕达哥拉斯三元组。可当费马尝试将n换成3时，看似只是将次数从平方变为立方，问题却变得异常复杂——他绞尽脑汁，翻遍了脑海中所有的数学方法，也没能找到一组满足条件的正整数解；当他将n换成4时，依旧一无所获，没有找到任何一组解。
这一发现，让费马倍感神奇：难道仅仅是改变方程的次数，就能让一个有无穷多组解的方程，变得无解吗？经过无数次的演算与深思熟虑后，费马在《算术》第二卷的页面空白处，写下了这样一段话：
“不可能将一个立方数写成两个立方数之和，也不可能将两个四次幂写成两个四次幂之和，或者总的来说，不可能将一个高于二次的幂写成两个相同幂次的和。”
这个结论，就是著名的“费马大猜想”，也被称为“费马最后猜想”——之所以叫“最后猜想”，是因为它是费马留给世间的所有猜想中，最后一个被证明出来的。费马坚信，无论x、y、z和n取何正整数（n>2），这个方程都没有解。这个结论看似简单，却蕴含着无穷的奥秘，而费马，始终坚信自己能够证明它。于是，在这段话之后，他留下了一句流传千古、充满恶作剧意味的附注：
“我有一个对这个命题的十分美妙的证明，可惜这里空白太小，写不下。”
费马之所以如此自信，是因为他已经找到了证明n=4时方程无解的“美妙方法”——他自创的“无穷递降法”。在《算术》的其它章节里的附注里，费马隐秘地提到了这个证明方法。他在不断尝试中发现，虽然不能直接证明n=4时原方程无解，却能证明一个更强的命题：无解。具体如下：
首先，假设有解，将等式两边同时除以x、y、z三者的最大公因数，可得到（其中x’、y’、z’互素）。根据毕达哥拉斯三元组的通解，可将其表示为、、，其中m、n一奇一偶且互素，不妨设n为偶数。
对于，由于m与n/2互素（m、n互素且n为偶数），根据数论基础结论，互素的两个数相乘为平方数，则这两个数本身必为平方数，因此m
注：② 有解指有整数解，无解指无整数解。下同。
与n/2均为平方数。
对于，移项可得，再次利用毕达哥拉斯三元组的通解，可表示为n=2rs、、，其中r、s互素。
由于n/2=rs为平方数，且r与s互素，因此r与s均为平方数，不妨记、，则。又因为m为平方数，可设，因此得到。
观察可知，，也就是说，我们得到了一组比x’、y’、z’更小的解x₁、y₁、z₁。这个过程可以无限进行下去，而初始的z’是有限的，最终必然会出现z₁小于0的情况，这与正整数的性质矛盾。因此，无解，进而可推出n=4时，费马方程无解。
这份简洁而严谨的推导，的确配得上他所说的“十分美妙”四个字。证明出n=4的情况后，相当于同时证明了所有n为4的倍数（即n=4k，k为正整数）的情况——因为这些情况，本质上都是n=4时的延伸，相当于n=4情况的子集，既然全集无解，其子集必然也无解。
类似地，我们可以不加证明地得出一个结论：只要证明n取除2以外的所有素数时，费马方程均无解，就能证明所有n>2的情况均无解。这一结论，将费马猜想的证明难度，极大地简化了——从此，数学家们只需专注于素数n的证明即可。
费马对自己的这一成果十分满意，他坚信，解决这个猜想，只是时间问题，只要将无穷递降法进一步发挥，就一定能像“千里之堤，溃于蚁穴”一般，彻底攻克这个猜想。在他眼中，这个困扰后世数百年的难题，不过是一个平凡的数学问题。
他在发现这个猜想后，甚至没有将它视为值得深度探讨的重大课题，只是将它作为寄给“好友”笛卡尔的几道数学问题之一。而笛卡尔向来对于数论问题不以为意，更何况，提出问题的还是他一直看不惯的费马，因此，他自然不会花费太多心力，去研究这个看似不起眼的猜想。
于是，这个后来震惊世界的费马猜想，就这么被暂时搁置了，静静地躺在《算术》的空白处，等待着后世数学家们的探索与求证。
1642年，在最高法院顾问勃里斯亚斯的推荐下，费马进入了最高刑事法庭和法国大理院主要法庭，这为他的官场生涯开辟了更广阔的空间，自此，他正式步入人生巅峰。1646年，费马升任议会首席发言人，之后，还曾担任天主教联盟的主席等职。
费马的官场生涯，没有什么惊天动地的政绩值得称道，但他始终坚守底线，从不利用职权勒索百姓、收受贿赂，为人敦厚，处事廉明，用自己的言行，赢得了人们的信任与称赞。在那个官场腐败、权钱交易盛行的年代，费马的这份坚守显得尤为可贵。
可天有不测风云，即便强运如费马，也终究逃不过天灾的侵袭。一场由生于阴暗之地的老鼠引发的鼠疫，悄然席卷了欧洲大陆，打破了这份安稳。
其实，早在14世纪，欧洲就曾因严重的卫生问题，爆发过大规模的黑死病，那场瘟疫，夺走了欧洲约1/3人口的生命，即便后来通过强制隔离等措施，基本控制住了疫情，但鼠疫的幽灵，始终在欧洲大陆游荡，从未真正消失。17世纪中叶，这场幽灵般的瘟疫，再次迎来大规模爆发。霎时间，曾经一派繁荣的欧洲，变成了人间地狱，脏乱不堪的街道，成为了鼠疫传播的温床，疫情最先始于意大利，随后迅速向周边国家蔓延，费马所在的法国，也未能幸免。
这天，费马如往常一样，伏案处理议会工作，突然感到一阵身体不适，轻微发热，浑身乏力。起初，他以为这只是一场普通的感冒，并未放在心上，可很快，他就意识到，事情并没有那么简单——高烧不退、浑身酸痛，皮肤上渐渐出现了暗红色的瘀斑，几天后，甚至开始打起了寒战，意识也渐渐模糊。医生赶来检查后，脸色凝重，当即判定，这是最近流行的鼠疫的典型症状。
“鼠疫？！”
费马眼中满是不可置信，他望着医生，心中充满了不甘——他还有那么多数学问题没有探索，还有那么多猜想没有证明，怎么能就此离去？
然而，医生只是无奈地摇了摇头，一声叹息，便转身离去。在那个年代，鼠疫尚无有效的治疗方法，一旦感染，就只能听天由命，死亡率极高。费马周围的亲友与同事，得知消息后，无不悲痛万分，暗自垂泪。
费马沉思了许久，终于接受了这个现实，做好了离去的准备。他叮嘱妻子与儿子，一定不要外传自己的研究手稿，也不要宣扬“皮埃尔·德·费马”这个名字——他一生淡泊名利，不喜欢被后人当作伟人崇拜、铭记，只想安安静静地探索数学的奥秘。他还亲手拟好了遗书，交给了自己在法院的同事，交代好了身后事。
费马的身体，越来越虚弱，眼神渐渐飘忽，呼吸也越来越微弱。终于，在亲友与同事们的注视下，他轻轻地阖上了双眼，仿佛只是睡着了一般，呼吸声渐渐低沉，直至消失。人们满心悲痛，却不敢哭出声，生怕惊动了这位天才的灵魂。同事们按照他的遗愿，发表了遗书，并发出讣告，悼念这位猝然离世的天才。
人们都以为费马已经离世，甚至连费马自己，都觉得自己离天堂越来越近，可上帝，却跟所有人开了一个巨大的玩笑。
第二天，费马的病情竟然奇迹般地出现了好转，高烧渐渐退去，意识也逐渐清醒；又过了几天，他的神色越来越红润，精神也越来越饱满，甚至已经能和同事们开起往日的玩笑，仿佛那场致命的鼠疫，从未降临在他身上——虽说他身上的确留下了生病时的瘀痕。
见此情形，费马的同事，不得不公开向外界纠正消息，他在给荷兰学者的信件中写道：“前些时候我曾通知您费马的逝世。他仍然活着，我们不再担心他的健康，尽管不久以前我们已将他列入死亡名单之中。”
这场“起死回生”的奇迹，不仅让亲友们欣喜若狂，也让费马迎来了新的机遇——由于鼠疫夺走了许多官员的生命，出现了大量的职位空缺，费马因此得以迅速提拔，官场生涯再攀高峰。
此后，费马依旧坚守着自己的爱好，继续投入到数学研究之中，他依旧与笛卡尔等数学家保持着书信往来，依旧喜欢提出刁钻的数学问题，却从不给出完整的证明。那些未被证明的命题，渐渐堆积如山，随着时间的流逝，有些被人们遗忘，如同流水般一去不返；有些则被后世数学家们拾起，成为了探索数学奥秘的重要方向。
1665年年初，费马依旧在法院处理着日常工作。突然，一阵剧烈的眩晕袭来，身体瞬间失去了力气。他深知自己的身体已经支撑不住了，便告假回家，安心休养。
这一次，没有任何戏剧性的反转，没有奇迹的发生。这位为数论赋予新生、为概率论指引方向、被后世尊称为“业余数学家之王”的男人，永远地停止了思考，再也没有新的猜想与问题从他的笔下诞生。
对于其他数学家而言，费马的离去或许是一种“解脱”——再也没有人会用刁钻的问题“刁难”他们，再也没有人会只提猜想不给证明；对于议会和法院而言，费马的离去不过是一个职位的空缺，很快就会有人填补；可对于整个世界而言，费马的离去是一场无法弥补的损失——我们失去了一位能凭借惊人创造力提出新问题、指引新方向的探索者，失去了一位用业余时光书写专业传奇的天才。
他走得那么安静，只有亲友们为他举行了简单的葬礼，没有喧嚣，没有追捧，一如他生前的淡泊名利；他走得又那么“吵闹”——他的离去，让沉寂了又复苏的数论再度陷入停滞，整个数学界都为他的离去而颤动。可他，却还没来得及为自己提出的那个猜想提供哪怕一丁点证明提示，就匆匆离去——他依旧那么“狡猾”，留下一个难题，让后世数学家们为之求索了三百余年。
后来，尽管费马生前反复叮嘱不要发表自己的研究成果，但他的大儿子塞缪尔·费马深知父亲的手稿与批注对于数学研究而言有着非凡的意义——这些手稿承载着费马的智慧，记录着他对数学的热爱与探索，若是就此尘封，将会是数学界的巨大损失。于是，塞缪尔不顾父亲的遗愿，将这些手稿、批注与书信精心整理成册，公开出版。
那些被尘封了许久的命题，那些藏在《算术》空白处的猜想，终于得以重见天日，显现在世人面前。其中，那个被费马一笔带过的“最后猜想”，成为了后世数学界最受关注的难题。费马成了“数论”这段传火旅途的重要一环——他接过丢番图点燃的《算术》之火，用自己的热爱与智慧照亮了后世数学家们的探索之路。他的猜想，他的方法，他的淡泊名利，他的执着热爱，都成为了数学史上最珍贵的财富，永远被世人铭记。