正文章节
第二幕 求索
“素数像被上帝随意撒在整数里的星辰，毫无规律，却又支配一切。”——莱昂哈德·欧拉
费马离世后，他的长子塞缪尔悉心整理并公开发表了父亲的全部手稿，那些曾被费马独自钻研的数学奥秘，终于得以展露在世人面前。人们既为费马的天才思维惊叹不已，也纷纷被他遗留的诸多难题所吸引，一场席卷欧洲的“费马难题攻坚热潮”就此掀起。
“你听说了吗？有个叫皮埃尔·费马的人，留下了一大堆数学难题，其中不少是关于整数和有理数的，要么没人研究过，要么沉寂了许久无人问津。”
“当然听说了，那门学问好像叫‘数论’吧？说到底也没什么实用价值，顶多当个思维训练的消遣，倒也贴合他‘业余数学家’的身份……”
“可你瞧，这些问题真的很奇妙！就说这个，把毕达哥拉斯定理稍作推广，竟然就从有无穷多组正整数解，变成了完全无解。我试着算了几组，还真没找到符合条件的数。”
“你才试了几组？说不定更大的数里就藏着解呢！”
“还有这个n边形数定理，居然把毕达哥拉斯学派的标志做了拓展，看着像是对的，可真要证明起来，就……”
类似的议论在民间流传开来。费马提出的猜想，尤其是数论相关的命题，最大的特点便是题面简洁易懂——即便只是略懂数学的人，也能明白个大概，这也让无数数学爱好者甘愿投身其中，争相挑战这座看似触手可及、实则坚不可摧的高峰。
时间步入17世纪后半叶，启蒙运动的荣光逐渐洒满欧洲大陆，唤醒了沉睡的民众，人们纷纷反抗教会的压迫与禁锢，人的价值与光辉再度闪耀在这片英雄辈出的土地上。1783年的一个傍晚，德国街市上弥漫着自由的气息，欢声笑语在人流中穿梭，最终定格在一本格外畅销的数学书籍上。一位名叫莱布尼茨的先生将其买下——据说这本书里的许多问题都可当作思维游戏，几乎不涉及高深的数学知识，对于痴迷数学的他而言，自然不愿错过。回到家中，莱布尼茨便迫不及待地翻开书页，沉浸其中。
莱布尼茨(1646-1716)
他发现，这是一部古希腊经典著作——《算术》，与他此前读过的版本不同，这本书的页边布满了一个名叫皮埃尔·德·费马的人的批注。不出所料，这些批注里的问题，要么未曾给出证明，要么只留下几句颇具挑逗性的提示。尽管莱布尼茨渴望解答所有问题，但他很快发现，这些看似简单的命题，实则暗藏玄机，逐一攻克绝非易事。于是，他挑选了其中最感兴趣的两个问题，正式开启了思索之路。
彼时的莱布尼茨身兼宫廷顾问与外交官的双重职责，研究这些数学难题，只能在闲暇之余进行。不久后，他便成功给出了其中一个问题的完整解答（详见附录1）——这便是费马小定理：若p为素数，整数a不整除p，则。尽管莱布尼茨很快攻克了费马小定理，但当他将目光投向费马大猜想时，却陷入了困境。这个表述极为简洁的问题，背后却牵扯着无穷的变量：x、y、z的取值有无穷多种可能，次幂n也有无穷多个，这意味着要证明的方程数不胜数。即便问题已简化为证明n为除2以外的所有素数的情况，可素数本身便是无穷多的——这一点，欧几里得早已在《几何原本》中给出了严谨证明（详见附录2），如此一来，问题的难度便陡增几分。在莱布尼茨看来，单单突破费马证明n=4时用到的方法，进而证明n=3的情况，就已异常艰难，更不必说更高幂次的情形。经过无数次尝试仍毫无进展后，莱布尼茨果断放弃了对费马大定理的攻坚，转而投身于曲线研究。自此，费马大定理的证明陷入了漫长的停滞。
整个17至18世纪，无数数学家与数学爱好者前赴后继，试图攻克费马大定理这道难关，却都铩羽而归，甚至没有取得任何实质性的突破，证明始终停留在费马最初证明的n=4的情形。
直到18世纪，一位数学巨人挺身而出，他便是莱昂哈德·欧拉。
莱昂哈德·欧拉(1707-1783)
欧拉自幼便拥有异于常人的超强记忆力与计算能力，能精准心算庞大的算式，天赋异禀。此外，他还开创了图论、拓扑学等全新学科，极大地推动了数学的发展。在欧拉的所有成就中，分析学领域的贡献最为突出——1748年，他出版了被誉为人类历史上最具影响力的七大数学名著之一的《无穷分析引论》，这份著作奠定了他“数学之王”的美誉，他本人也被后世尊称为“分析的化身”，深受无数数学家与爱好者的敬仰。欧拉性格温和友善，交友广泛，常常在书信中与好友探讨自己最新的数学发现。在他的好友中，有一位同样以猜想闻名的数论学家——哥德巴赫，他提出了著名的哥德巴赫猜想：任何一个大于2的偶数，都能表示为两个素数之和。这同样是一个题面简单、却至今仍未被完全证明的难题。事实上，哥德巴赫曾将这个猜想分享给欧拉，欧拉在回信中坦言，自己凭直觉判断这个猜想是正确的，却无法给出严谨的证明。围绕素数，两人探讨了许多有趣的猜想，其中当然包括费马提出的诸多命题。例如，费马曾猜想，均为素数。当n=1、2、3、4时，该式的值分别为5、17、257、65537，均为素数；但当n=5时，欧拉发现，，并非素数！费马素数猜想就此被证伪。此外，关于费马小定理，尽管莱布尼茨早已给出证明，却未曾发表，因此欧拉并不知晓这一成果。后来，欧拉采用几乎相同的方法，重新独立证明了该定理，并得出了更具一般性的结论，于1735年正式发表。
此后，欧拉自然也接触到了费马大定理。即便强如欧拉，也被这个表述简洁、证明却极端繁琐的猜想所震撼。经过反复苦思冥想，他终于找到了证明n=3的方法。这一证明的关键的一步，是证明：若s为奇数，且（其中a、b互质），则，其中a、b可由u、v表示。欧拉的证明引入了虚数，实际上借助了中元素的唯一分解性，同时沿用了费马的无穷递降法。1753年，欧拉在写给哥德巴赫的回信中，详细阐述了这一证明方法——此时，距离费马提出这一定理，已经过去了整整一个世纪。
自此，人类在证明费马大定理的道路上，终于迈出了全新的一步。欧拉本想一鼓作气，将这一方法推广到其他素数情形，可遗憾的是，他证明n=3的方法具有极强的特殊性，无法简单推广到其他素数。后来，他在给哥德巴赫的信中坦言，自己发现的n=3的证明方法，或许只是一个特例的特殊证法，这恰恰与素数“无规律可循”的特性不谋而合。
在研究费马大定理的过程中，欧拉重新翻看了费马证明n=4的思路，试图从中寻找新的线索。这时，他突发奇想：既然一个四次幂不能表示为两个四次幂之和，那么它能否表示为三个四次幂之和呢？欧拉立刻投入实验，尝试了无数数组，却始终未能找到解。于是，他提出了一个新的猜想：一个四次幂同样不能表示为三个四次幂之和，这便是后来著名的“欧拉猜想”。或许有人会问，若项数大于3，情况会如何？事实上，当方程左边为4项时，总会有解——这可由后来的拉格朗日四平方和定理经过简单变形得出（读者自证不难）；而项数大于4的情况，只需令多出的项均为0，便可转化为项数为4的情形。
欧拉证明了n=3的情形，为后续数学家证明其他幂次提供了全新的思路与方向。又过了大约一百年，一位20岁的年轻人狄利克雷，与一位70岁的老者勒让德，各自独立证明了n=5的情形。和欧拉一样，他们也采用了构造性的方法，只是证明的复杂度较n=3时呈指数级增长。此后，拉梅又证明了n=7的情形。接连的突破背后，数学家们逐渐意识到一个残酷的事实：费马大定理无法通过逐一证明特例、寻找规律的方式，获得适用于所有情况的通解。人类对费马大定理的求索，再度陷入停滞。
与费马大定理的停滞不前形成鲜明对比的是，费马提出的其他猜想，解决过程都十分顺利。譬如前文提到的费马素数猜想，已被欧拉证伪；费马小定理，先后被莱布尼茨与欧拉独立证明；费马平方和定理：奇素数能表示为两个平方数之和，等价于该素数被4除余1——也由欧拉完成了严谨证明。最后，还有费马多边形数定理：任何一个正整数，都能表示为n个n边形数的和。其中，n边形数是费马对毕达哥拉斯学派标志的推广，例如三角形数为1、3、6、10……四边形数为1、4、9、16……1770年，拉格朗日证明了四边形数定理，即拉格朗日四平方和定理（详见附录3）；1796年，高斯证明了三角形数的情形；1813年，柯西证明了一般n边形数的情形。至此，费马提出的所有猜想中，唯有费马大定理仍悬而未决。也正因如此，费马大定理被赋予了一个新的名字——“费马最后定理”。
费马大定理作为一个孤立的命题，题面简单易懂，可证明过程却远超世人想象的艰难。相较于多边形数定理，经过几个特例证明后便能由柯西找到普遍规律、完成全部证明，费马大定理的证明之路，始终无法通过特例推导得出普适性方法。时间缓缓推进，数学家们逐渐意识到，这种“逐个突破、积少成多”的方式，对于攻克费马大定理而言，无异于“千里之堤，溃于蚁穴”，最终只能徒劳无功。于是，越来越多的数学家放弃了这种思路，费马大定理的求索之路，再度陷入沉寂。
1783年，18世纪最伟大的数学家莱昂哈德·欧拉永远停止了思考。这一消息传来，欧洲社会各界人士与各国领导人纷纷前来哀悼，送别这位为人类数学事业做出不朽贡献的伟大灵魂。他带着生前未能解决的诸多难题，一同沉入了岁月的长河。彼时，启蒙运动正值顶峰，欧洲各国民众纷纷觉醒，逐渐认清了封建统治的弊端与自身所处的困境，开始为社会的不平等发声。就在这场席卷法国的动乱之中，一位女性将悄然崛起，为攻克费马大定理这块“顽石”，锻造出一把全新的“钢凿”。
这是一个关于法国富裕商人家庭之女的故事。
1776年，热尔曼家迎来了一个女孩，父母为她取名索菲·热尔曼。彼时的法国，苛捐杂税盛行，社会被划分为泾渭分明的三个等级：第一等级为教士，全法国不足12万人，却享有丰厚的薪资与至高无上的权力；第二等级为贵族，同样拥有高额薪俸与诸多特权；第三等级则是平民，占据了法国人口的绝大多数，却承受着最沉重的赋税。受宗教影响，教士有权向平民征收什一税等多项税款，贵族也可向平民征收物品租赁税等，再加上王族的征税，平民几乎要向三个特权阶级同时缴税，生活的艰难可想而知。幸运的是，热尔曼家境殷实，这些赋税并未对家庭生活造成显著影响，但普通平民却深陷水深火热之中。
彼时，法国正值路易十六当权。经过前两任国王的统治，国库早已严重亏空。为弥补亏空，路易十六起初选择增加对平民的征税，这让本就艰难的平民生活雪上加霜，不满的情绪在民众心中悄然积攒。一段时间后，路易十六发现平民身上已无油水可榨，便转而向贵族与教士增加征税，这自然招致了两大特权阶级的强烈不满——他们早已习惯了享受特权，怎肯轻易妥协？可国库亏空已是既定事实，为达成协议，路易十六只好同意召开已中断一百多年的三级会议。会上，路易十六对第三等级代表的骄横态度，彻底激怒了代表们。终于，在1789年，第三等级积累已久的情绪彻底爆发，从攻占巴士底狱开始，法国掀起了一场轰轰烈烈的大革命。路易十六被迫妥协，交出实权，不久后因串通外国反法联盟势力，被判处死刑。正是在这动荡不安的法国大革命时期，索菲·热尔曼与数学结下了不解之缘，生出了纯粹而炽热的热爱。
热尔曼出身商人家庭，父母虽不鼓励她钻研数学，却要求她对各类学科有一定了解，以便在礼节性谈话中能够参与其中。为此，当时有不少人撰写了一批教科书，帮助女性了解数学与科学领域的最新发展。其中，弗朗西斯科·阿尔加洛蒂所著的《艾萨克·牛顿爵士的哲学——为女士使用而写》，便是其中之一。阿尔加洛蒂认为，女性只对浪漫故事感兴趣，于是他试图通过一位侯爵夫人与对话者之间的挑逗性对话，来解释牛顿的科学发现。例如，对话者简要叙述了万有引力的反平方定律后，侯爵夫人便用自己的方式解读道：“我禁不住想到……位置距离的平方这个比例……甚至在爱情中也能观察到。因此，分别八天以后，爱情就只有第一天时的1/64了。”
毫不奇怪，这种华而不实、流于表面的书籍，根本无法激起索菲·热尔曼对数学的兴趣。真正改变她一生的，是某一天她在父亲的图书馆中偶然翻到的一本让-艾蒂安·蒙图克拉所著的《数学的历史》。书中关于阿基米德生平的章节，彻底点燃了她的幻想。蒙图克拉对阿基米德诸多发现的描述固然有趣，但真正让热尔曼着迷的，是围绕阿基米德之死展开的情节。
1789年，外界社会动荡不安，索菲·热尔曼不敢外出，只能待在家中，书籍便成了她最好的陪伴。她常常前往父亲的图书室翻阅书籍，以此消遣无聊的时光。
这天，她依旧在漫无目的地阅读，偶然看到：阿基米德为了保护画在沙滩上的数学图形，不惜献出自己的生命。这段文字，彻底改变了她的想法。一个人，竟能为自己的热爱做到舍生取义，这该是多么纯粹而坚定的信仰！热尔曼瞬间被阿基米德的精神所折服，同时，也对他誓死守护的数学，产生了浓厚的兴趣。为了学习更多数学知识，她开始翻阅牛顿与欧拉的著作。尽管书中内容艰深难懂，但凭借着满腔热忱与过人天赋，她依然收获颇丰。
可不久后，她学习数学的举动便被父亲发现了。在那个封建保守的年代，女性钻研数学被视为违背社会风气的行为，她的举动很快遭到了父母的制止与打压。白天不能学，便晚上学！热尔曼偷偷将数学著作带进卧室，趁着夜色悄悄研读，可终究还是被父母发现。为了彻底阻止她，父母不仅不给她提供灯火，还取走了她的衣物，试图用寒冷与黑暗迫使她放弃。但这一切，都无法熄灭热尔曼求知的热情。她开始点起蜡烛，裹着棉被，在深夜里伏案阅读。冬夜寒风凛冽，墨水瓶中的墨水都冻住了，她却依旧不顾一切地沉浸在数学的世界里。最终，父母被她的执着与坚韧所感动，默许了她继续学习。此后，在热尔曼的整个学术生涯中，父亲始终默默资助着她的研究工作。
热尔曼独自学习了许多年，家中没有数学家能为她讲解最新的学术思想，家庭教师也不愿认真对待这位热爱数学的女孩。随着知识的不断积累，仅靠手中已有的数学资料，已无法满足她的求知欲。就在这时，她听说巴黎综合工科学校开始招生——这所学校专为国家培养数学家与科学家，必定有她从未接触过的精妙数学知识。无论如何，她都不愿错过这个机会。
一天午餐时，热尔曼鼓起勇气，向父亲诉说了自己的想法：“父亲，我想去新开的综合工科学校上学，那里一定有我渴望了解的出色数学知识。”
父亲满脸惊愕：“可是那所学校只招收男学生啊。”
“我知道，入学的事情我会自己想办法，我唯一请求您的，就是支付我的学费。”索菲的眼中闪过一丝不容置疑的坚定，一改往日的腼腆，这份执着，甚至震撼了父亲。
父亲微笑着点了点头：“好吧，几年前你也是这样，无论我们做什么，都无法阻止你读数学书——你从来都是这样执拗。既然你已经做好了决定，我也不阻拦你，去做你想做的事吧。”
第一道难关终于解决，可如何才能顺利进入只招收男生的工科学校，成了热尔曼新的苦恼。女扮男装？可身份登记该如何处理？她在书房中苦思冥想，却始终没有找到满意的方案。
就在她一筹莫展之际，敲门声传来，是父亲。原来，父亲在与其他商人闲谈时，偶然得知了工科学校的一个消息：有一位名叫勒布朗的学生，在学校就读几年后，便离开了巴黎，不知所踪。按照常理推测，大概率是因为他的数学成绩太差，无法承受学习的压力，才选择中途放弃。听完父亲的叙述，热尔曼立刻明白了父亲的用意——假扮成勒布朗，不就可以顺利入学了吗？尽管勒布朗数学成绩不佳，但能进入综合工科学校，家境定然不一般。这类家庭往往碍于面子，不会将孩子因厌学而离开巴黎的事情外传，学校的领导与老师，大概率并不知晓勒布朗已经离校。如此一来，假扮成勒布朗，便能避开所有嫌疑！想到这里，热尔曼欣喜若狂，激动地拥抱了父亲。
不出所料，热尔曼凭借“勒布朗先生”的身份，成功混入了巴黎综合工科学校。但她并未放松警惕，努力克服自己腼腆的性格，终于打听出了勒布朗曾经的休息处——在这里，她能拿到学校发放的讲课材料与习题，这为她巩固所学、提升能力提供了极大的帮助。事情一开始进展得十分顺利，两个月后，数学指导老师拉格朗日再也无法忽视这位“勒布朗先生”的惊人变化。要知道，这位“学生”此前以数学成绩糟糕闻名，可短短几个月内，竟能脱胎换骨，展现出极高的数学天赋，这让拉格朗日充满了好奇。于是，他提出要与“勒布朗先生”当面会面。
这对热尔曼而言，无疑是一场危机——真正的勒布朗早已离开巴黎，一旦会面，她的身份便会暴露。可拉格朗日绝非普通人，他被誉为“分析的化身”欧拉最有力的接班人，享誉天下。若是忽视他的请求，无疑会断送自己在数学领域的前途。迫于压力，热尔曼只好放下顾虑，以自己的真实模样，前往与拉格朗日会面。
拉格朗日得知真相后，十分震惊，却也格外欣喜。他欣然接受了这位年轻的女学生，并主动成为她的导师与朋友。这份认可，让热尔曼无比感激——她终于遇到了一位能够无视世俗偏见，真心支持她、引导她的数学家，终于可以毫无保留地展现自己的才华与抱负。
在拉格朗日的指导下，热尔曼的信心愈发充足，她不再满足于解答课程作业中的习题，转而投身于数学中尚未被开发的领域。也正是在这段时间里，数论这一领域，走进了她的视线，激起了她的研究兴趣。自然而然地，她开始钻研费马大定理。经过几年的潜心研究，她终于取得了一些突破性进展，于是，她决定将自己的想法分享给当时世界上最杰出的数论家——德国的卡尔·弗里德里希·高斯。
高斯(1777–1855)
高斯被后世尊称为“数学家之王”，一生在数学的多个领域都做出了突破性贡献。在数论领域，他撰写的《算术研究》，是自《几何原本》之后最重要、内容最广博的数学专著，热尔曼正是通过这本书，了解到了高斯的工作。但令人奇怪的是，高斯从未发表过任何关于费马大定理的论述。在一封信中，他甚至流露出对这个问题的轻视，称：“费马大定理作为一个独立的命题，我对它没有什么兴趣，因为我可以轻易写下许多这样的命题，它们既不能被证明，也不能被证伪。”
不过，凡事不能只看表面。费马曾宣称自己找到了一个绝妙的证明，而高斯很可能也曾尝试过证明这一定理，却最终失败。或许是“酸葡萄心理”作祟，不愿承认自己不如费马，他才说出了这样的话或者类似的也说不定呢！
当高斯收到热尔曼的来信，看到她在费马大定理上的突破性工作时，欣喜万分，甚至一下子忘记了自己对这个问题的矛盾态度。这或许也暗示着，高斯曾经试图证明费马大定理，却未能取得实质性进展。
那么，热尔曼的研究究竟取得了怎样的进展，能让高斯如此着迷？首先，热尔曼放弃了传统的特例证明方法，转而尝试直接证明所有情况。她在给高斯的信中，大致叙述了一种全新的思路：对于一个素数p，如果2p+1也是素数，那么在xyz的乘积不是p的倍数的情况下，费马方程无解。这类素数p，后来被命名为“索菲·热尔曼素数”。但这类素数数量稀少，于是，热尔曼对这一思路进行了推广：对于素数p，如果q=2kp+1也是素数，且满足“将1~q-1分别取p次方，再除以q得到的余数列表中，没有连续的元素”，那么费马方程在xyz的乘积不是q的倍数的情况下，无解。
为了便于理解，我们以费马方程n=5的情况为例，展开说明：
此时p=5，假设费马方程有解。取k=1，则q=11，将1~10分别取5次方，再除以11取余数，得到的余数列表为{1,10,1,1,1,10,10,10,1,10}，余数只有1和10，没有连续元素。根据热尔曼的定理，xyz的乘积必须是11的倍数；取k=2，则q=21（合数），定理失效；取k=3，则q=31，余数列表为{1,1,26,1,25,26,5,1,25,25,6,26,6,5,30,1,26,25,5,25,6,6,30,26,5,6,30,5,30,30}，整理后余数为{1,5,6,25,26,30}，其中5和6、25和26均为连续元素，定理失效；取k=4，则q=41，余数列表为{1,3,9,14,27,32,38,40}，无连续元素，因此xyz的乘积必为41的倍数；k=5时，q=51（合数），定理失效；k=6时，q=61，余数列表为{1,11,13,14,21,29,32,40,47,48,50,60}，其中13和14为连续元素，定理失效……以此类推，还可推出xyz的乘积必为71、101的倍数，最终得出xyz的乘积必为3234121的倍数——这是对xyz取值的一个极强约束。事实上，狄利克雷与勒让德证明n=5的情形，正是基于这一约束展开的。
写信给高斯时，热尔曼还只有20多岁。尽管她在巴黎已经小有名气，但她依然担心，这位数学界的大人物会因为她的性别，而不认真对待她的研究成果。为了保护自己，热尔曼再次使用了“勒布朗先生”这一化名，在信上署名。因此，此时的高斯，还不知道这位志同道合的通信者，竟是一位年轻的女性。
1806年，拿破仑入侵普鲁士，法国军队接连猛攻德国的城市。热尔曼忧心忡忡，她担心阿基米德的悲剧，会再次降临在自己另一位崇拜的对象——高斯身上。于是，她写信给好友约瑟夫·玛利埃·帕尼提将军，彼时将军正负责指挥前进中的法国军队。热尔曼在信中请求将军保护高斯的安全，将军感念她的诚意，对这位德国数学家给予了特别的照顾，并向高斯说明了真相——是索菲·热尔曼小姐挽救了他的生命。高斯既感激又惊讶，因为他从未听说过这个名字。
化名的游戏就此结束。在给高斯的下一封信中，热尔曼勉强透露了自己的真实身份。令她意外的是，高斯并没有因被“欺骗”而发怒，反而愉快地给她回了信， 字里行间满是赞赏：
“不知道该怎样向你描述，当我明白我尊敬的通信者勒布朗先生，竟化作一位做出如此辉煌成就、令我难以置信的卓越女性时，我心中的钦佩与震惊。一般而言，对抽象科学，尤其是对神秘数论的热爱，是极为罕见的。这门高尚的科学，只对那些有勇气深入其中的人，展现其迷人的魅力。而当一位在世俗与偏见的眼光中，注定要遭遇比男性多得多的困难，却依然能通晓这些艰难研究的女性，最终成功跨越重重障碍，洞察其中最令人费解的部分时，毫无疑问，她一定拥有最崇高的勇气、超常的才智与卓越的创造力。事实上，没有任何事物能以如此令人愉悦、毫不含糊的方式向我证明，这门为我的生活增添了无限欢乐的科学，其吸引力绝非虚构——正如你的偏爱，让它愈发荣光。”
索菲·热尔曼紧紧抓住了与高斯通信的机会，这段交流，对她的许多研究工作都起到了极大的推动作用。后来，她进一步阐释了自己证明费马大定理的计划：根据她提出的第二条定理，只要能证明，每一个素数p都有无穷多个满足条件的素数q，那么若费马方程有解，xyz的乘积就必须是这无穷多个素数的倍数——这与xyz是有限整数的事实相矛盾，由此便可证明费马方程无解。
这个计划看似为费马大定理的证明照亮了前路，实则注定走向深渊。因为热尔曼试图证明的“每一个素数p都有无穷多个满足条件的素数q”，实际上是一个假命题。后来，她自己也发现了这一问题：当p=3时，只能找到7和13两个满足条件的素数q。尽管这个计划最终失败，但热尔曼的思想却永远留存于世，她在费马大定理上的研究成果，也成为了她对数学领域最伟大的贡献。
可现实往往不尽人意。1808年，高斯被聘为哥廷根大学的天文学教授，他的研究兴趣从数论转向了应用数学，再也没有精力给热尔曼回信。就此，热尔曼失去了自己在数论领域最伟大的导师，信心也逐渐动摇。一年之后，她无奈放弃了纯粹数学的研究。
尽管此后她再未对费马大定理的证明做出贡献，却在物理学领域开启了全新的生涯，并再次取得了卓越成就，不料却遭到了权势集团的排挤。她在物理学领域最重要的贡献，是论文《弹性振动研究》——这篇论文见解深刻、成果杰出，奠定了现代弹性理论的基础。凭借这篇论文，以及她在费马大定理研究上的突破，热尔曼荣获了法国科学院的金质奖章，成为第一位不是以科学院成员夫人的身份，出席科学院讲座的女性。
晚年时，热尔曼与高斯重新恢复了联系。高斯十分欣赏她的才华，说服哥廷根大学授予她名誉博士学位。可悲的是，在哥廷根大学正式授予她这一荣誉之前，索菲·热尔曼便因乳腺癌与世长辞。数学界的一代女英雄，就此陨落，可她的思想与精神，却在未来的两百年间，持续影响着一代又一代的数学家。
索菲·热尔曼(1776–1831)
在索菲·热尔曼取得突破性进展之后，法国科学院设立了一系列奖项，包括金质奖章与3000法郎的奖金，用以奖励最终能揭开费马大定理神秘面纱的数学家。如今，除了证明费马大定理所能获得的无上声望，这个挑战还附加了巨额奖金的诱惑。巴黎的沙龙里，随处都能听到关于“谁正采用何种策略攻克难题”“离宣布最终结果还有多远”的传闻。终于，在1847年3月1日，法国科学院举行了一场极具戏剧性的会议。
科学院的通报中，记录了加布里尔·拉梅——这位早些年曾证明n=7情形的数学家——登上讲台的场景。他面对当时最卓越的一众数学家，宣布自己已基本证明了费马大定理。他坦言，自己的证明尚未完整，但他概要地叙述了核心方法，并自信地预言，几星期后，他将在科学院杂志上发表完整的证明。
全场听众无不惊愕。可拉梅刚走下讲台，另一位巴黎顶尖数学家——柯西便立刻请求发言。柯西向科学院宣布，自己一直在用与拉梅类似的方法进行研究，并且也即将发表完整的证明。
柯西与拉梅都清楚，时间至关重要。谁能率先交出完整的证明，谁就能赢得数学界最权威的荣誉与丰厚的奖金。尽管两人都尚未完成证明，但这两位竞争对手都急于确立自己的“所有权”。于是，仅仅过了三个星期，他们便各自声明，已在科学院存放了盖章密封的信封——这是当时数学界的常见做法，既能记录数学家的研究思想，又不会泄露研究细节。若日后出现关于思想出处的争议，密封的信封便能为判断谁先提出想法，提供有力的证据。
拉梅(1795–1870)
柯西(1789–1857)
整个4月份，柯西与拉梅在科学院通报上，陆续发表了自己证明的部分细节——这些内容既引人遐想，又含糊不清，让整个数学界的期望愈发迫切。尽管所有人都渴望看到完整的证明，但许多人暗地里更希望拉梅能战胜柯西，赢得这场竞赛。据流传的说法，柯西是一个自视甚高、狂热的教徒，并不受同事们的欢迎，他之所以能留在科学院，完全是凭借自己卓越的才华。
5月24日，一份声明的宣读，终结了所有的猜测与期待。最终的“赢家”，既不是柯西，也不是拉梅。约瑟夫·刘维尔在科学院发表了谈话，宣读了德国数学家恩斯特·库默尔的一封信，全场听众无不震惊。刘维尔通读了科学院的通报，仔细分析了柯西与拉梅敢于透露的少数细节。在库默尔看来，这两位法国数学家，显然正走向同一条逻辑死胡同，他在给刘维尔的信中，详细阐述了自己的理由。
库默尔(1810–1893)
根据库默尔的分析，柯西与拉梅的证明，都存在一个致命的漏洞——两人都借助了数的“唯一因子分解”性质。这一性质在整数范围内是成立的，但拉梅与柯西却想当然地将其推广到了复数领域。他们的证明思路大致如下：将在上分解质因数，得到，则有：
于是，根据数的唯一因子分解性质，左边的任意一项，都必定是一个p次方数。由此，他们试图构造出一系列更小的a₁、b₁、c₁，借助无穷递降法，推出矛盾，从而证明费马大定理。
然而，唯一因子分解性质仅在实数范围内成立，一旦拓展到全体复数域，便会失效。因为还可能分解为这类形式，因此也可能等于m，而非p次方数。举一个简单的例子：6在实数范围内，只能分解为2×3；但在复数范围内，6=2×3=，且可以证明，6在复数域上只有这两种质因数分解形式。很明显，柯西与拉梅的证明思路，错误地沿用了数的唯一因子分解性质，因此他们的证明过程，从根本上就是不成立的。
库默尔的话，让拉梅瞬间陷入绝望，可柯西却依旧坚持，认为自己对唯一因子分解性质的依赖较轻。曾经极度注重严谨性的柯西，此刻却一反常态，只为能成为第一个证明费马大定理的人——由此可见，费马大定理在数学家心中，占据着何等崇高的地位。此后，经过一个月的“申诉”，柯西最终还是不得不接受现实，安静了下来。紧接着，柯西向科学院提议，将奖金授予库默尔，以表彰他论证了“费马大定理在当时的数学水平下无法被证明”这一重要结论。
这一结果，无疑让许多为费马大定理耗尽心血的数学家心灰意冷。在此之后，许多数学家提交的证明中，也都隐含着对唯一因子分解性质的错误使用，最终都以失败告终。
后来，库默尔进一步指出，证明中使用的唯一因子分解性质，在n≤31时，还可以通过特殊方法规避；在100以内的素数中，只有37、59、67这三个素数，无法规避这一问题——这类素数，被称为“非规则素数”。它们散落在无穷的素数之中，成为攻克费马大定理的巨大绊脚石。尽管无法一次性攻克所有非规则素数，但数学家们可以对每个非规则素数，逐个进行证明。可最坏的消息是，非规则素数的个数也是无穷的，据推算，它们在全体素数中出现的频率，约为39%。
由于需要进行大量繁琐的计算，库默尔与他的同事们花费了几周时间，才完成了100以内非规则素数的补充证明。但在此之后，他们便放弃了对更大非规则素数的证明——面对无穷多个素数，逐个证明无疑是徒劳无功的，没有任何实际意义。
从那时起，费马大定理便如同一个遥不可及的梦，盘旋在数学界的上空。数学家们只能匍匐在地面上，远远瞭望，却始终找不到一条真正通往它的道路。人们对费马大定理的研究热情，逐渐冷却。纵然有巨额奖金的诱惑，也没有人愿意耗费一生的时光，去研究一个大概率会走进死胡同的难题。人类在费马大定理上的求索之路，就此陷入了一段极为漫长的停滞。