正文章节
第三幕 深渊
“无穷不是一个静止的实体，而是一个永远在生成的过程 —— 它永远在路上，永远不会完成。”——亨利·庞加莱
库默尔之后，人类对于证明费马大定理的希望日渐渺茫，越来越少的数学家开始真正关心这个问题。这个问题的进程就此陷入一段漫长的停滞。
让我们先暂时从停滞的僵局抽离出来，回到那个战火动荡的年代。法国大革命时候，一个叫海乌姆·沃尔夫斯凯尔的屠夫在动乱中从巴黎逃到了达姆施塔特，靠着自己曾经家畜商人的经验开始经商。后来凭借其出色的商业才能积累了巨额财富，当时银行业盛极一时，于是海乌姆投资创办了家族银行，并于1800年前后正式开业，他本人也成为黑森-达姆施塔特公国宫廷银行家，服务王室与贵族，经营存贷、汇兑、债券发行。此后，其长子约瑟夫、长孙威廉姆先后继任银行家。这时，随着经济泡沫持续不断的出现，沃尔夫斯凯尔家族逐渐认识到，银行业或将步入下坡路。事实上，他们的这种担心是完全正确的。于是，家族决定将重心转移至实业，并于1881年正式结束银行的经营，开始投资建立染料厂、纺织厂、机械加工厂等工业并持有煤矿、盐矿等矿业，几乎能够实现自给自足。这种局面在幼子保罗经营时期达到全盛，创造了一个无比庞大的商业帝国。此外，保罗还是一个知名慈善家，广泛资助艺术、科学和教育。
你要问为何一个资本家要不惜代价地资助艺术和科学？答案很可能是因为他自己本身就对这二者很有兴趣。在经营家族的商业帝国之余，保罗还同费马一样，是一个业余数学家。毕竟他是商人的子孙，对数学感兴趣是可以预料到的。这样看来，保罗·沃尔夫斯凯尔可谓集富有、自由与热爱于一身，无论是以当时的还是现代人的眼光来看都是妥妥的人生赢家，理应享受顺风顺水的一生。然而，命运却跟保罗开了一个致命的玩笑。
保罗·沃尔夫斯凯尔(1856-1908)
故事还要从一个女人开始讲起。从很久以前开始，沃尔夫斯凯尔便无法自拔地坠入到了对这个女人的热恋之中。各位可能会觉得，凭借沃尔夫斯凯尔出色的才华与显赫的家世，征服一个女人的芳心岂不易如反掌？事实上，沃尔夫斯凯尔一开始也是这么认为的。于是他便无比自信地向对方表达了自己的爱意。可结果是，沃尔夫斯凯尔等来的不是对方含情脉脉的接受，而是冰冷的拒绝。这让沃尔夫斯凯尔简直难以置信——自己究竟有什么地方比不过其他男人呢？可现实就是这样，那个他爱到无法自拔的女人拒绝了自己的告白！说实话，我也对此觉得莫名其妙。究竟是怎么回事呢？或许可以参考《肖申克的救赎》？(doge) 遗憾的是，这段历史已无从考证。
经受了失恋的打击之后，保罗觉得自己陷入了对未来的迷茫之中，他丧失了自己活下去的意义，于是，他最终决定自杀。商人的思维让他练就了一个极为缜密的处事逻辑，这使他想好了一个极为严密的自杀计划。最后他写到，他将在午夜零点钟声敲响时开枪自杀。时间终于还是来到了晚上，因为自己的高效率使得所有的事情略早于午夜的时限就办完了。为了打发时间，他到图书室里开始翻阅数学书籍。不久，他就不知不觉地被库默尔解释柯西和拉梅失败的原因的经典论文吸引住了。那是一篇那个时代最伟大的计算之一，很适合一个要自杀的数学家在最后时刻阅读。
沃尔夫斯凯尔一行接一行地进行计算，突然他惊呆了：似乎逻辑上有一个漏洞——库默尔提出了一个假定，却未能在他的论证中说明其合理性，沃尔夫斯凯尔不清楚到底是他发现了一个严重的缺陷呢还是库默尔的假定是合理的。如果是前者，那么费马大定理的证明就有可能比许多人推测的容易得多。
他坐了下来，仔细审阅那一段不充分的证明，渐渐地全神贯注于做出一个小证明，这个证明或者会加强库默尔的工作，或者会证明他的假定是错的，在后一种情形下，库默尔的所有工作都将是无效的。直到黎明时分他的工作才完成。坏消息（就数学方面而言）是库默尔的证明被补救了，而大定理依旧处于不可达的境界中。好消息是规定的自杀时间已经过了，沃尔夫斯凯尔对于自己发现并改正了伟大的恩斯特·库默尔的工作中的一个漏洞感到无比骄傲，以至他的失望和悲伤都消失了。数学重新唤起了他对生命的欲望。
那天过后，他撕毁了前一天写的告别信，并重新立了一份遗嘱。他决定自己死后将自己的大部分财产设立一个奖项，以表彰能证明费马大定理的人，奖金为10万马克，这在当时是一笔巨款，购买力相当于现在的100万英镑(约908万人民币)。这算是他对这个赋予自己第二次生命的问题的一个感激。后来，在沃尔夫斯凯尔于1908年去世之后，10万马克的奖金如约被遗赠为一个奖项，称为沃尔夫斯凯尔奖，掌管这笔钱的是哥廷根皇家科学协会。协会同一年宣布了获奖规则，其中包括证明必须发表在专业刊物上，且须经受协会审查委员会检验，提交截止日期为2007年6月27日，即奖项设立99周年之际。另外值得一提的是，沃尔夫斯凯尔奖只会把奖授予证明费马大定理的人，如果费马大定理最后被一个人找出了一个反例，这个人是无法获得该奖项的。
这样一笔巨款的出现立刻引起了一众数学家特别是民间数学家们的热情，他们都纷纷赶来一窥这个问题的深渊，然而无一不是铩羽而归。这些数学家要么采取最传统的做法即通过特例来发现规律，结果依然是无法从有限扩展到无限，要么是延续柯西和拉梅的做法，结果提交的证明中都隐含使用了上一幕提到的数的唯一分解性质导致证明无法成立。后来，德国出现了有史以来最严重的一次通货膨胀，奖金也大幅贬值，最后这10万马克的奖金只能买1/5个面包(doge)。然而，寄给沃尔夫斯凯尔委员会的论文依然不见少。后来，经过了几次经济危机后，德国的经济终于恢复平稳。
随着教育的普及，越来越多的民间数学家涌现，其中不乏类似费马这样的善于出题的人，于是，数学谜题游戏兴起了。这些数学谜题通常都会刊登在报纸中，作为一种闲暇之余打发时间的游戏，并且这些谜题有时候还会附上奖金。制谜者中最优秀的一位是美国的奇才萨姆·洛伊德，当他还是一个十几岁的少年时，就通过制作新谜和改造旧谜赚得一笔可观的钱。而其最著名的创作便是“14-15”智力玩具，如下图所示。
规则是：通过移动各个方块使得14和15处于恰当位置就算挑战成功。
挑战成功的第一人将获得1000美元的奖金。
要知道，这可是上世纪上半叶的1000美元，购买力相当可观，于是一经发布便引来许多数学爱好者的挑战。他们尝试了各种方法，结果都没能找到真正的解答。直到过了奖金的截止日期依然没有人能给出正确解答。你也可以尝试挑战一下，参考答案见附录4.
类似于这样的谜题盛极一时，可以说是成了很多人的数学兴趣的萌芽之处。这样的盛况一直持续到上世纪下半叶，有些报纸甚至仍在继续刊登数学谜题。于是，很自然地，费马大定理有时被恶作剧般的穿插在这些谜题里，这自然引起了更多的民间数学爱好者们的兴趣。
这时你可能会想，既然民间数学爱好者们极力想谜题和猜谜题，那么真正的专业数学家们在干什么呢？他们当然没有闲着，而是在数学的边疆上继续开疆拓土。自拉梅、柯西和库默尔之后，其它领域的数学家们各显神通，黎曼、庞加莱等数学巨擘接连登场，发展出了诸如代数几何、解析数论、代数数论等强大数学武器。数学这棵大树开始变得枝繁叶茂，现代数学的黎明已经到来。这时，欧洲大陆最后一位全能数学家大卫·希尔伯特于19世纪末现身，并针对目前的数学总结了23个重大问题，其中最为著名的当属第八问题，包含黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想这类与素数有关的难题，这些问题无一不深刻影响着数学的发展。而要解决这些问题就需要通过非常严谨的数学证明一步步推出最终的结论，于是，为顺应时代的需要，一群逻辑学家开始从逻辑学这一最基本的科学建立全新的坚固的数学体系的根基，而决定开始进行这项计划的正式希尔伯特。
大卫·希尔伯特(1862-1943)
希尔伯特笃信数学中的一切能够而且也应该根据基本的公理加以证明。这样做的结果，最终将是要证明数学体系中的两个最重要的基本要求。首先，数学应该（至少在理论上）有能力回答每一个问题——这与对完全性的要求是相同的，这种要求在过去曾迫使数学家创造出像负数和虚数这样的新的数。其次，数学不应该有不相容性——那就是说，如果用一种方法证明了某个命题是对的，那么就不可能用另一种方法证明这同一命题是错的。希尔伯特确信，只需承认少数几个公理，就可以回答任何想象得到的数学问题而无须担心会出现矛盾。
于是，如前所述，希尔伯特在1900年的一次演讲中提出了这23个问题，意图激励数学界来帮助他实现他的建立可信的并且相容的数学体系的梦想——他铭刻在墓碑上的雄心壮志：
Wir nüsssen wissen，
Wir werden wissen.
我们必须知道，
我们必将知道。
高特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）是所谓的希尔伯特计划的主要人物之一，虽然有时候他也是希尔伯特厉害的对手。在十多年中，弗雷格极为投入地从简单的公理出发推导了数以百计的复杂定理，他的成功导致他相信自己已正确地行进在实现非常宏伟的希尔伯特之梦的道路上。
1902年，弗雷格的艰辛努力似将告一段落，因为他当时准备出版《算术的基本规律》——一部庞大的权威性的两卷本著作，意在建立数学中可信性的新标准。就在这同时，也在为希尔伯特的伟大计划做努力的英国逻辑学家伯特兰·罗素却有了一个毁灭性的发现。尽管遵循着希尔伯特的严格规定，罗素还是碰到了一种不相容性。当意识到数学可能生来就有矛盾时罗素回忆他自己的反应时说：
“最初，我认为我应该能够相当容易地克服这个矛盾，或许是推理时犯了某种微不足道的小错误。然而，逐渐地越来越清楚情况并不是这样……在1901年的整个下半年中，我想解答会是容易的；但是到了年终时，我已经断定这将是一个大工程……每天晚上从11点到凌晨1点，我在公有牧地上荡来荡去，在那段时间里，我终于懂得了欧夜鹰发出的三种不同的呼呼声（大多数人只懂一种呼呼声）。我正努力设法解决这个矛盾。每天早晨，我在一张白纸前坐下，整整一天，除了短暂的午饭时间外，我总是凝视着这张白纸。经常当夜幕降临时，它仍然是白纸一张。”
矛盾无法回避。罗素的工作将给建立无怀疑的、相容的和无悖论的数学体系的梦想带来巨大的灾难。他写信告诉弗雷格，当时弗雷格的书稿已经在排印中。这封信使弗雷格的这本融注着他生命的著作变得毫无价值，但是他置这个致命的打击于不顾，仍然出版了他的巨著，只是在第2卷中添加了一个后记：“正当工作完成时，基础却倒塌了，科学家也许不会遭遇比这更不幸的结局了。当本书即将印刷完毕时，伯特兰·罗素先生给我的一封信使我陷入的正是这种困境。”
伯特兰·罗素(1872—1970)
具有讽刺意味的是，罗素的矛盾出自弗雷格非常心爱的集合这个概念。他创造了一个类似于一个集合A，它包含所有不属于集合A的元素。这时假设a∈A，则根据定义a∉A；若b∉A，则根据定义，b∈A。于是无论一个元素是否属于A都会产生矛盾。罗素举了几个例子，其中最著名的便是“理发师悖论”：一个理发师宣称自己只给不给自己理发的人理发，问理发师该不该给自己理发？如果理发师给自己理发，那么按照规定，他就不能给自己理发；而如果他不给自己理发，那么他就该给自己理发。这一类的逻辑漏洞一经发现便在数学界引起了轩然大波，因为它传达出了一个事实：数学很有可能是不相容的。这会在数学逻辑结构中引发严重问题，因为数学不允许不相容性、悖论或矛盾。例如，反证法这个有力的数学工具要依赖于数学中没有悖论这一前提。反证法说，如果一个假定导致荒谬，那么这个假定一定是错的。但是按照罗素的结论，即使是公理也可能导致荒谬，因而按照反证法，公理是错的。而公理是数学的基础，而且被承认是对的。
罗素悖论刚开始发表的时候，还会有人提出反驳，但很快就会被罗素强有力的论证打压下去了。第三次数学危机就这么在集合论这片崭新的土地上开始了。那么要如何解决呢？既然目前的数学存在不相容性，那么就通过一些新加的手段人为使它相容不就好了！事实上，此前的数学危机都是这么解决的，比如第一次通过引入“无理数”，第二次通过严格定义“极限”。罗素的想法是通过引入一条新的公理即规定任何类都不能是自身的一个成员。
罗素又花了10年时间考虑数学公理，在1910年与怀特海合作出版了《数学原理》的第一卷，对他的悖论所引起的问题给出了部分的回答。在接下来的20年里，其他人把《数学原理》当成建立无缺陷的数学大厦的指南，到1930年希尔伯特退休时，希尔伯特相信数学已经正常地走上了重建的道路。他的逻辑相容的、有能力回答每一个问题的数学梦想显然正在变成现实。
然而不幸的是，1931年，一位名不见经传的25岁数学家发表了一篇注定会永远毁灭希尔伯特希望的论文，他就是哥德尔。他在发现《数学原理》存在的漏洞之后写了一本题为《<数学原理>及有关系统中的形式不可判定命题》的书，其中包含了他的所谓不可判定理。定理内容大致为：
第一不可判定性定理
如果公理集合论是相容的，那么存在既不能证明又不能否定的定理。
第二不可判定性定理
不存在能证明公理系统是相容的构造性过程。
哥德尔(1906-1978)
本质上，哥德尔的第一个定理说，不管使用哪一套公理，总有数学家不能回答的问题存在——完全性是不可能达到的。更糟的是，第二个定理说，数学家永远不可能确定他们选择的公理不会导致矛盾出现——相容性永远不可能证明。哥德尔已经证明希尔伯特计划是一个不可能完成的计划。通俗来讲，哥德尔实际上是提出了这样一个命题：这个命题无法被证明。如果这个命题是错误的，那么命题就可以被证明，这与它是错误的矛盾；反之，如果这个命题是正确的，那么这个命题就不存在这样的证明。哥德尔的不可判定性定理与4年前由海森堡发现的物理上的测不准原理不谋而合。测不准原理是说无法同时测量一个粒子的位置和动量。因为“测量”这个动作本身会向粒子发射光子，在测量粒子位置之时，吸收了光子能量的粒子的动量就会发生改变从而变得不确定。
不过哥德尔虽然给出了存在定理无法被证明，却没有给出具体不能被证明的定理的例子。这让很多数学家存在侥幸心理地认为那些无法被证明的定理都是异常刁钻的定理，人们找不到也不必要研究它们。但事实却把他们狠狠打脸了。
1963年，斯坦福大学的一位29岁的数学家保罗·科恩发展了一种可以检验给定的问题是不是不可判定的方法。这个方法只适用于少数特殊情形。但尽管如此，他是发现具体的确实是不可判定的问题的第一人，而这个问题就是那个曾被列入希尔伯特第一问题的连续统假设(CH)，即在自然数个数的无穷ℵ₀和实数的个数无穷ℵ1之间不严格存在其它无穷①。
这一结果可谓彻底摧毁了数学家们的侥幸心理，因为数学中最重要的命题之一竟然是无法被证明或证伪的！
连续统假设无法被证明被发现之后，数学家们开始担忧是否其它一些尚未被解决的难题也是无法被证明的呢？于是，人们想到了费马大定理这个已经有三个多世纪都没有解决的问题，或许这个问题本身就是无法被证明的。而假如费马大定理果真无法被证明，那么它一定是对的。为什么呢？假如费马大定理是错的，那么一定可以找到一个特例否定它，而这就与它无法被证伪矛盾了。尽管无法被证明这件事很令人遗憾，但数学就是如此，在使人感到神奇的同时也会带来感伤。
于是，为了探寻费马大定理是否真的存在反例，数学家们努力对库默尔的方法进行拓展逐个验证更大的非规则素数，但最后都限于算力无法继续进行，数学家们迫切需要一种能够极大地提升算力的方式。
注：① 实数的个数实为，在ZFC公理体系中连续统假设等价为ℵ1=.
1940年，英国数学家哈代在《一个数学家的自白》中写到：“真正的数学对战争并无影响，迄今为止还没有任何人发现数论能为任何与战争有关的目的服务。”哈代的观点立即被证明是错的。
二战期间，盟军认识到只要能足够快地进行计算，那么在理论上数理逻辑可以用来破译德军的信息。挑战性的问题是要找到一种使数学自动化的方法，以便可以用机器进行计算。艾伦·图灵是对这次破译密码的努力贡献最大的英国人。
图灵完成了在普林斯顿大学的工作后于1938年回到剑桥。他目睹了哥德尔的不可判定性定理引起的混乱，并且参与了设法补救希尔伯特之梦的工作。特别是，他想要知道是否有一种方法能决定哪些问题是可判定的或不可判定的，并试图发展解答这个问题的一种条理清楚的方法。
当时的计算装置是原始的，并且在需要认真解决的数学问题面前显得特别无用。因此，图灵把他的想法建立在一种虚拟的能做无限次计算的机器的概念上。这种有无穷无尽的虚拟工作纸条可供使用并可永远计算下去的假想的机器，就是图灵为探索他的抽象的逻辑问题所需要的全部“工具”。图灵当时没有意识到他的虚拟的用“机械”解答问题的方法最终导致了在真实的机器上进行真实的计算的突破性成就。
战争爆发之后，图灵被派去参与德军密码的破获工作，而要破获一个密码就需要进行大量的计算，图灵不得不放弃他假想的具有无穷多的工作纸条并能计算无穷多次的机器，而做出让步来从事一项资料有限且时间紧迫的实际工作。经过秘密的实验与工作，图灵和他的小组成功地建造了巨人计算机(Colossus)——一台由1500个电子管组成的完全电子化的机器，计算速度比之前使用的电动机械的继电器要快得多。之后，在众多数学家和物理学家们的努力之下，计算机迎来了飞速发展，计算速度呈几何增长，算力进入了一个崭新的纪元，基于计算机，人们对费马大定理中更大数字的验证才得以继续进行。直到1993年，费马大定理已经被证明适用于所有小于400万的数字。从圈外人的角度看来，费马大定理似乎已经被证明得差不多了，可数学家们知道证明还远远没有完成。哪怕是证明到n=10万亿，我们也无法保证n=10万亿零一时是否成立。单靠计算机的蛮力碾过一个一个的数是不可能到达无穷的。
戴维·洛奇在他的著作《常看电影的人们》中对相对于无穷的永恒做了形象生动的描述：“想象一个有地球那么大的钢球，每隔100万年才偶然有一只苍蝇飞落在它上面，当这个钢球因苍蝇飞落时的摩擦而损耗殆尽时，永恒甚至根本还没有开始。”
计算机能提供一切的只能是有利于费马大定理的证据。如果数学是类似于物理这样的实验科学的话，那么我们或许就可以称费马大定理为“费马定律”了。然而数学绝非实验科学，它的所有定理都必须经过严谨的推导证明之后才能为人们相信，否则它永远都只能是猜想。
或许举几个例子能让你对涉及到无穷的问题有更深刻的见解。还记得上一幕提到的欧拉猜想吗？即方程
无整数解。这个方程在很大范围上的确不存在解，以至于自欧拉猜想提出的200多年的时间里没有人能证明，也没有人能举出反例。直到计算机发明之后，1988年，人们找到了如下反例：
欧拉猜想不正确！后来人们又发现了其它更大的反例。到最后，埃尔基斯证明了这个方程有无穷多组解。
再如，历史上有一个著名的“高估素数猜想”：高斯曾猜想，设小于等于x的素数个数为π(x)及对数积分函数，则π(x)永远小于②.后来，数学家们已经发现该猜想对1万亿以下的数字都成立，并且高斯的公式都会显得过于慷慨，这强烈地诱使着数学家们相信这种情形对直到无穷的一切数都是对的。然而，在1914年，哈代在剑桥的合作者里特伍德证明了在充分大的数字范围时高斯的公式反而会低估素数的个数。1955年，斯奎斯证明了低估发生在③
之前，更后来的研究表明二者在极大的数字范围上是振荡的，且目前已将低估的下界计算到了之内。
正如欧拉猜想和高估素数猜想，没有理由认为费马大定理不会在数字相当大的时候出现反例。所以，证明费马大定理的希望愈发渺茫，所有关心大定理的人再一次坠入了无底的深渊……
注：②当时，.这就是素数定理。附录5对此作了简单的说明。
③事实上，早在1933年，斯奎斯得出的数是，不过是在假定了黎曼猜想成立的前提在得出的，而1955年得出的数则没有借助黎曼猜想。