正文章节
第四幕 转机
“数学家的模式，像画家或诗人的一样，必须是美的；各种思想，像色彩或辞藻一样，必须以和谐的方式组合在一起。美是首要的标准，丑陋的数学不可能与世长存。”——G.H.哈代
数学是一片广袤无垠的精神国度。若为这片国度绘制地图，便能看见七大彼此独立的核心领域：逻辑与集合世界、组合世界、数论世界、代数世界、分析世界、几何世界与应用数学联邦。每个大世界又细分出诸多专精领域，譬如代数世界包含群论、线性代数，几何世界涵盖初等几何、代数几何、解析几何等分支。
长久以来，各个数学分支如同割据一方的城邦，受限于固有理论框架，定理与公式几乎无法跨领域流通。自几何体系独立成型后，两千余年里，各数学领域始终各自发展、鲜有交融。这种割裂看似稳固，却也桎梏了数学整体的进阶之路。
最早打破这一僵局的是毕达哥拉斯。他在研究直角三角形时发现：将四个全等直角三角形拼接成大正方形后，中心会形成一个小正方形。设直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，通过面积等价推导，可得出经典的勾股定理：
这是人类数学史上，几何世界与代数世界的第一道互通桥梁。此后数代数学家接续探索，越来越多的数学领域开始建立关联。但仍有一批高阶分支始终壁垒森严，代数几何、模形式、群论等领域便是如此。它们理论深邃、体系晦涩，不仅普通学习者难以触及，即便专业数学家，也很难穷尽其中核心奥义，一度让跨领域交融成为数学界的无解难题。
将视线收回三百年前，聚焦那座震撼数学界的孤城——费马大定理。
费马大定理是近代数论领域的核心难题，独自撑起了数论研究的半壁江山，成为数论世界的标志性要塞。自问世以来，无数顶尖数学家倾力攻坚，却始终无法突破它由三重无穷维度构筑的壁垒，只能望而却步。三百年间，代数、几何、分析等领域飞速迭代、理论革新不断，唯有数论领域因这道难题陷入长期停滞，近乎“闭关锁国”。所有人都清楚：这座固守百年的数学孤城，只差一场颠覆性的变革来攻克。
而这场转机，始于两位日本青年数学家的相遇——谷山丰与志村五郎。
谷山丰(1927-1958)
志村五郎(1930-2019)
二战期间，日本学术体系遭受重创，高校停课、科研停滞，数学研究几乎陷入停滞。战争落幕之后，社会百废待兴，但经济的颓势依旧制约着学术发展，日本数学界迟迟未能恢复往日活力。
1954年的一天，一位极具才智的青年数学家志村五郎如往常一样进行着我们数学研究。正如每一位数学家都会经历的那样，他遭遇了瓶颈。究竟该如何计算呢？正巧前几天得知多伊林曾在《数学年刊》上发表过关于复数乘法的代数理论的一篇论文，而那正是他想要的。
“您好！有什么能帮到你的吗？”
“您好！请帮我查一下《数学年刊》第124卷在哪里。”
“好的，请稍等。唔……很抱歉，这一卷已经被人借走了。”
“借走了？”
志村惊愕地问道。
“是的，前几天刚刚借的。”
“那……能告诉我对方是谁吗？”
“他叫谷山丰。”
思路卡住绝对是一个痛苦的体验，而等待只会让人更加难熬。为了尽快得到答案，志村决定搜集一下这个叫谷山丰的同学的信息以便联系到他。
“您好，初次见面，我是志村五郎。听说您认识谷山丰？”
“是啊，他就住在校区另一边的宿舍，不过他很少外出，如果你想联系上他就写信吧。”
“好的，谢谢您！”
得知了谷山丰的住址之后，志村便立刻写信告诉谷山自己正在做的计算，并客气地问他什么时候可以归还这本杂志。
几天之后，志村终于等来了回信，一张明信片出现在了志村的桌子上。谷山说他也在做同一个计算，并且逻辑也在同一处卡住了。“既然如此，不如我们约个地方交流一下想法？这样可能会让这个问题更顺畅地解决。”谷山提议道。于是，一本书使这两个本来不相识的年轻数学家建立了合作关系，谁也没想到，这个合作将深刻改变数学历史的发展进程。
这次的交流很愉快，对于数学家们来说，没有什么是比打通难题的思路更令人心情畅快的事了。志村对谷山清奇的思路投来赞许的目光，谷山也对志村的演算功底感慨万分，两人就此成了数学上的知心好友。
“诶？原来你的名字读音本来是‘Toyo（丰）’吗？”
“是啊，只不过我家以外的人通常都会误读成‘Yutaka’，后来我也就习惯了，于是等我长大之后都是采用的这个读音。”
“那，你以前是在哪里读书的呢？”
“啊……我小时候经常得病，所以经常中断学业，我十多岁的时候还得了结核病，不得不在高中期间休学两年。后来——你也知道——战争爆发了……”
“是啊。很抱歉问到你不好的经历了。其实在战争期间我的学校也关闭了，更甚的是非但不能去上学，还必须在一个工厂里装配飞机部件为战争效劳……所以啊，为了弥补我的读书时间，我都会在晚上挑灯夜战。正是在那时，因为实验仪器很难获得，像物理和化学这样的实验科学是不太好上手的，而数学则只需要看数学书就够了。所以我选择学习数学，就此我被数学深深地吸引了。”
“嗯，确实！数学是很有魅力的！无论是其具有的优美的对称性还是无数精美的公式，都深深地吸引着我。”
两人朝着对方微笑着，战争期间的不幸遭遇使这两个人惺惺相惜，两人之间的羁绊更强烈了。这以后，他们在酒吧里消磨下午的时光，傍晚在一家以鲸肉为特色的小饭馆里吃饭，周末他们会在植物园或城市公园散步。这一切都成了他们讨论最新数学思想的理想所在。
或许数学家们都或多或少的对自己的世界有不同的见解，这两个人都有着独特的怪异性格。最明显的是谷山，谷山是那种心不在焉的天才的缩影，他总是穿着一身绿得甚至令人发憎的并带有刺眼的金属光泽的衣服，尽管他家里人都反对他穿，他无法系好鞋带，于是直接放弃系鞋带，而且他没有固定的起床时间，但一般直到中午还在呼呼大睡。志村则是一个和他相反的极端。他钟爱禅宗，每天黎明时分就起身并立即投入工作，而这个时候他的同事在彻夜工作之后往往还没有入睡。而谷山这种心不在焉的性格却令志村很羡慕。他觉得，“谷山天生就有一种犯很多错误，尤其是朝着正确的方向犯错误的特殊本领，我徒劳地想要模仿他，却发现，要犯好的错误也是十分不容易的。”
受战争影响，教授们已经精疲力竭，不再具有理想。而学生们的热情却空前高涨，为了继续深化学习，学生们决定自己学习。于是便组建了研讨会，专门用来互相交流学习的。谷山虽然平时一副心不在焉的样子，一去研讨会便像打了鸡血一样精神万分，热情地发表着他的新想法，激励着高年级的学生深入探索未知领域，同时又对更年轻的学生们充当起了父辈的角色。由于他们与外界隔离，研讨班有时会讨论一些西方一般被认为是“过时”的内容，而这其中，有一个特别陈旧但却令谷山非常着迷的论题是模形式。
模形式是数学中最古怪和神奇的内容之一，它是一类复变函数的统称。模形式具有非同寻常的对称性，但不幸的是，想画出或者想象出一个模形式的图像都是不可能的，因为它的自变量和因变量都是复数，各需要两根轴来表示，而这将产生四维空间，生活在三维空间中的我们是绝对无法观察到它们的。下面给出模形式的一个定义①。f(z)定义在复平面上，满足对于任意行列式为1的矩阵，都有
这样的函数形式就叫作模形式，其中k称为权。
举个例子，取权k=4的一个模形式，叫做艾森斯坦级数。取矩阵，此时有；再取矩阵，得.这两个式子都能体现出很好的对称性。而我们又知道，每一个函数都可以展开成傅里叶级数，模形式也不例外。这个就可以展开成
其中.
这里我们可以将各项的次数和系数写到列表里：
换言之，模形式和这样的一个序列M(k)是一一对应的，M序列就相当于模形式的DNA，M序列的每一项都至关重要，如果改变其中的某一项，就会产生类似基因突变一样的后果。
1955年，在一个国际学术研讨会上，谷山提出了一个发现，这个发现将模形式与一种曲线——椭圆曲线联系在了一起。
椭圆曲线这个名字听上去似乎是与椭圆有关联，但实际上关系很小。椭圆曲
注：① 这个定义稍有不严谨，实际上需对函数的一些基本性质作限定，但这将涉及到大量复变函数相关的名词，如果一一解释将会偏离本文重点，故此处略去不表。
线实际上是满足方程的曲线，且方程的判别式为，这个判别式是用来排除图像有尖点、自交点或孤立点的情况。满足这样的判别式图像有以下两种：
该曲线之所以得名椭圆曲线，就是因为在用定积分计算椭圆周长时会出现这样的项（详见附录6）。椭圆曲线早在19世纪就被高斯、阿贝尔等人系统地研究过，主要的研究内容便是找出椭圆曲线方程的所有整数解。这其实是一件相当困难的事。比如，对于方程，很容易就能看出就是它的一组整数解，而要证明只有这一对整数解却异常繁琐。事实上，证明该方程只有一组整数解等价于证明只有26是夹在平方数与立方数之间的数，这一事实最早是由费马发现并证明的，证明需要用到群论相关的知识，这里不作讨论，我们只需知道直接寻找椭圆曲线方程的全部整数解很困难这一点就可以了。那么数学家是怎么做的研究呢？人们想到，既然在全体整数上找全部整数解很难，那么我们为什么不在一定范围上找全部整数解呢？于是，数学家们做了这样的工作：首先想象实数轴这条直线，它能在两边无限延伸。现在，我们想象一个只有5个整数的（如图所示），它有一个很有意思的特点是当数字从0增加到4之后再加1得到的结果不是5而是0。这样的算术方法称为5格时钟算术，而我们所熟悉的算术则是时钟算术中有无限多个数时的情况。
于是，我们就可以在这样的时钟算术上寻找椭圆曲线方程的全部整数解。还是拿来举例，此时我们就能通过穷举法很容易地找出它的所有整数解为.虽然这些解在正规算术中都是不正确的，但它们在5格时钟算术中却是可以被接受的。类似的方法，我们还可以求出更多格时钟算术中解的组数。一般地，我们来求一下p格时钟算术中解的组数，其中p是素数。则x和y都是从0变化到p-1，而在p格时钟算术中还要对x与y平方后的结果取余以得到一个位于0p-1之间的数。而又因为，所以只需取遍0(p+1)/2即可。则过程为：x和y分别取遍0~(p+1)/2的所有值，然后再求出x²和y²除以p的余数m,n.再验证m与n是否满足原方程。这样就能求出p格时钟算术中的所有解。当p趋于无穷大时，便得到了正规算术中解的组数。类似M序列，我们还可以列出椭圆曲线方程的解的组数Ep与p的表。比如对于，列表如下：
而谷山在看到这个椭圆曲线的E序列时，忽然联想到之前算过的一个模形式的M序列。这个模形式为,其中.将多项式展开并整理后得得到它的M序列为：
之后，他将第二张表格中的k换成p，并与第一张表合并后得到
这时，他惊奇地发现：
谷山立刻意识到，模形式和椭圆曲线或许是一一对应的！之后，他又验证了其它更多的椭圆曲线和模形式，结果都满足这一特点。这种想法显然异乎寻常，毕竟椭圆曲线属于代数领域，而模形式属于分析领域，这两个之间怎么会有联系呢？然而谷山却对他的想法十分确信，志村决定相信谷山，两人共同努力寻找更多证据来证明他们的这个想法。
1957年，志村五郎受邀前往普林斯顿高等研究院深造，二人分隔两地，却始终以书信往来深耕研究、完善猜想。彼时的谷山丰，人生顺遂可期：他与铃木美佐子相恋，敲定婚期，租下新居、置办家具，满心期待婚后的科研与生活。志村五郎由衷为挚友的幸福感到欣喜，谁也未曾预料，厄运骤然降临。
1958年11月17日，谷山住房的主管人来查看时发现谷山死在了他的房间里，一封遗书放在书桌上。遗书写在他做学术研究时一直使用的那种笔记本的三页纸上。第一页上写着：
“直到昨天，我还没有决心自杀。但是很多人想必注意到近来我无论在体力方面还是心智方面都十分疲乏。至于我自杀的原因，我自己都不十分清楚，但它绝不是由某件小事引起的，也不是出于特别的原因。我只能说，我陷入了对我的未来失去信心的心境之中。我的自杀可能会使某个人苦恼，甚至对其是某种程度的打击。我衷心地希望这件小事不会使那个人的将来蒙上任何阴影。无论如何，我不能否认这是一种背叛的行为，但是请原谅我这最后一次按自己的方式采取的行动，因为我在整个一生中一直是以自己的方式行事的。”
他十分有条理地继续写他希望怎样处置他的所有物，哪些书和唱片是他从图书馆或朋友那里借来的，等等。他特别提到：“我想把唱片和玩具留给铃木美佐子，假如她不会因为我把它们留给她而生气的话。”他对他正在教的大学生微积分和线性代数课程已经教到哪里做了说明，在结尾处他为这个行为引起的种种麻烦向他的同事们表示歉意。就这样，一位那个时候最杰出和最具开拓性的学者按照自己的意愿结束了他的生命，就在五天前他刚满31岁。
几个星期后，又一个悲剧发生。他的未婚妻铃木美佐子也结束了自己的生命，她留下一张纸条写道：“我们曾彼此允诺，不管我们到哪里我们将永不分开。既然他去了，我也必须和他在一起。”
接连的悲剧让志村五郎悲痛欲绝，此前九月的书信，已然是挚友的绝笔。悲痛之余，他毅然扛起两人未竟的事业，独自坚守、深耕猜想，持续补充论证、完善体系，让这份跨越代数与分析的伟大构想得以延续。
尽管志村只能找到某一些椭圆曲线满足猜想，但他坚信数学是至善至美的，既然能够找出一些满足猜想的证据，那么依照至善至美的哲学观它也一定适用所有的椭圆曲线。后来，这个猜想就以谷山-志村猜想流传开来。在这种要关头，20世纪数论方面的一位领袖人物韦依及时地采纳了这个猜想，他研究了谷山和志村的思想，找到了更为坚实可靠、有利于它的证据。结果，这个猜想最后常被称为“谷山-志村-韦依猜想”或也可称“谷山-志村猜想”。自那时起，谷山-志村猜想才真正成为西方数学界讨论的对象。
谷山-志村猜想之所以伟大就是因为它成为了一座连接椭圆曲线世界和模形式世界的桥梁，沟通了分析世界和代数世界。此前，这二者之间是不相连的，连个世界之间存在着两种不同的语言，椭圆曲线上的居民听不懂模形式的语言。而谷山-志村猜想却发挥了类似于罗塞塔石碑那样的翻译作用，如果你懂得了模形式的语言，你就可以借助这块石碑立刻懂得椭圆曲线世界的语言，椭圆曲线世界的难题使用模形式翻译后也许就会变得简单。这极大地拓展了数学家们的思路。
1967年，罗伯特·朗兰兹被谷山-志村猜想的潜力所吸引，他相信这只是一个更加宏大计划中的一环，朗兰兹基于此提出了数学的大一统计划——朗兰兹纲领。通过在数论、代数几何、群论分析之间建立桥梁统一数学的众多大陆。如果这个计划最终实现，在某个数学领域无法解答的问题将被传送到另一个数学领域，在那里，有一整套新武器可以用来对付它。而谷山-志村猜想则是这些桥梁中的第一座，它的证明将成为实现朗兰兹纲领的第一步。自那以后，谷山-志村猜想就成为了数学上最有价值的几个猜想之一，人们在假设它成立的前提下建立了一整座新的数学大厦，然而这座大厦却是易倒的，因为它的根基随时都有可能被证明是空心的。
那么，谷山-志村猜想与费马大定理有什么联系吗？
我们重新回过头来看一下费马大定理的证明进度。谷山-志村猜想提出后不久的一段时间里费马大定理取得的最新进展便是1983年，法尔廷斯证明了费马方程的解是有限个，但要从有限进一步缩小到0依然遥不可及。
1984年秋，一群优秀的数论家聚集在一起参加在德国举行的一个讨论会。他们都是椭圆曲线方面的专家，自然也有演说者会偶尔报告他们在证明谷山-志村猜想上所取得的小进展。其中一位演说者——弗赖虽然没有对如何解决这个猜想提供任何新的想法，但是他确实提出了引人注目的论断。
当弗赖起身准备演讲时，他先写下了费马方程，然后论述了如果费马大定理是错的，即能找到一组解，那么会出现什么情况。首先他假设费马方程存在一组解，那么方程满足，然后弗赖经过严谨推导之后得出这样一个椭圆曲线：，其判别式.由于p是一个很大的素数，所以具有高度分解的质因数，这将使得弗赖曲线的伽罗瓦表示呈现出高度分歧，而模形式的伽罗瓦表示分歧应当是温和的。这种不兼容意味着弗赖曲线没有模形式！从而也就得出了谷山-志村猜想的一个反例，于是谷山-志村猜想就不成立了。而反过来，它的逆否命题为，若谷山-志村猜想成立，则费马大定理一定成立！
弗赖的汇报震惊了听众，不过他的证明中存在一个漏洞，这意味着谁能首先弥补漏洞谁就能获得最先将谷山-志村猜想与费马大定理联系起来的荣誉。演讲一结束，听众们立刻冲出演讲厅奔向复印室以获得一份完整的论证纲要，起初，数学家们认为这个漏洞很容易修补，但几个月过去了，人们期待的数学冲刺显然又变成了一场马拉松，仿佛费马依然在嘲弄和折磨着他的后继者。他们必须证明这个椭圆曲线是足够古怪的，证明的思路大多都是采用寻找不变量来进行的，但最终还是没有人能够证明。
这些不知疲倦地证明古怪的椭圆曲线不能模形式化的数学家中有一位是伯克利大学的教授里贝特。自从目睹了弗赖的演讲之后，里贝特一直痴迷于尝试证明弗赖的椭圆曲线足够古怪这一点。经过了18个月的努力，他和其他人一样没有得到什么结果。
里贝特(1948- )
1986年的夏天，里贝特的同事梅休尔教授访问伯克利大学并出席国际数学家大会。这两位朋友因同时去一家咖啡厅碰巧遇到。渐渐地他们开始谈论起关于各种各样的企图证明弗赖的椭圆曲线古怪性的最新消息，里贝特开始解释他一直在探索的实验性策略。这种方法似乎有点前途，但他还只能证明它的一小部分。梅休尔教授一边啜饮着咖啡，一边听着里贝特的想法。突然，他停止了啜饮，怀疑地凝视着里贝特：“难道你还不明白？你已经完成它了！你还需要做的一切只是加上一些M-结构的，然后再做一遍你的论证，这就行了。它会给出你所需要的一切。”
里贝特看着梅休尔，再看看他的咖啡，又回头看看梅休尔。这是里贝特数学生涯中最重要的时刻。
“你是绝对正确的，当然，我怎么会不明白这一点。哇呜！我从没想过添加额外的M-结构的，听上去如此简单！”
后来，里贝特兴奋地回到了他的住所，然后在草稿纸上飞速地演算了起来。大约过了一个小时或两个小时后，里贝特确信他完成了一切。
“对，这绝对行得通！”
里贝特自语道。
后来的国际数学家大会上，里贝特有点随便地对几个人提到他已经证明了谷山-志村猜想隐含费马大定理。这消息像野火一样传播开来，立刻一大群人都知道了，他们跑向里贝特问道：“你已经证明弗赖的椭圆曲线不能模形式化，这确确实实是真的吗？”
里贝特深思了1分钟之后答道：“是的，我已经证明了。”
至此，费马大定理不可避免地与谷山-志村猜想联系在了一起，如果有人能证明每一个椭圆曲线都对应一个模形式，那么这就隐含费马方程无解，于是立即证明了费马大定理。三个半世纪以来，费马大定理一直是一个孤立的问题，这一次，人们在新方法的加持之下对费马大定理这座孤城实现了合围。任务已经非常明晰：证明谷山-志村猜想，就能证明费马大定理！
但大多数数学家对此都很悲观，因为光是费马大定理就花了300多年仍未被攻克，有什么理由认为比它更强的谷山-志村猜想就能被证明呢？一些人觉得，任何可能导致费马大定理被证明的事情都是无法实现的。甚至里贝特也很悲观，他表示，绝大数人相信谷山-志村猜想是完全无法接近的。不过，不管怎么说，谷山-志村猜想的确为证明费马大定理提供了一个崭新的思路，数学大一统的黎明已经临近，费马大定理正被黎明前最沉重的黑暗所笼罩。